本日の数IIIで扱った問題はこちら。
関数 $\displaystyle f(x)=\int_{-x}^x\left(1-\frac{|t|}{x}\right)\cos t\,dt$ $(x>0)$ について、次の問いに答えよ。
(1) $f(x)$ を求めよ。
(2) $\displaystyle \lim_{a\to \infty} \int_{\pi a}^{\pi a+1}f\left(\frac{x}{a}\right)\,dx$ の値を求めよ。
(1) $f(x)$ を求めよ。
(2) $\displaystyle \lim_{a\to \infty} \int_{\pi a}^{\pi a+1}f\left(\frac{x}{a}\right)\,dx$ の値を求めよ。
積分の基本的な問題である。基本的と言うと「いや、難しいよ」という人もいるかもしれない。
でも、基本的な問題であることに変わりはない。基本的というのは易しいという意味ではない。
大切なのは、積分というものが、少なくとも高校数学においてどのように考えられているかということである。
その基盤にあるのは、区分求積による面積の近似である。
だからと言って、バカの1つ覚えみたいに区分求積法を使おう！とか考えるのは残念な受験生だぞ。
この問題は微積分の基本を1つ1つ意味を理解していれば、ちゃんとした答案は書けないとしても答えは求まる。
$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ となればOK。図を描いてみると案外簡単である。
そう、図を描いてみると簡単なのだが、図を描けない人が多い。
もちろん、積分には微分の逆演算という側面もあるが、やはりイメージと組み合わせた区分求積の方が見通しがいい。
そういう意味で、この問題は基本を考えさせる問題なのである。
まあ、だからと言って解けなくてはいけないというわけではない。
塾生のみなさんは、ちゃんと復習して「積分のココロ」をマスターしてちょうだいね！