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数列の和

いよいよ今日で8月も終わりである。あー、ほんとに疲れた(笑)

そんなヘロヘロの夏休みの締めは、高1数学と高2数学の授業。

今回も、面白い問題を取り上げておいた。シグマの基本的な計算問題である。

毎年、できる人とそうでない人の差が大きくつく問題である。

\[\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)^2\]

これ、シグマの中を展開してチマチマと計算する人が多いので、ちょっとびっくりする。

俺は面倒臭がりなんで、そんな計算したくない(笑)

実はこれ、具体的に和の形に戻していくと「なんだ、そんな問題か」となる有名な問題。

実際に \(k\) に1から \(n\) までの値を代入して和の形にすると

\[\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)^2=n^2+(n-1)^2+(n-3)^2\cdots+1^2\]

という形になって、\(n\) から1までの自然数の2乗の和になる。ひっくり返せば

\[1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2\]

となるので、結局

\[\sum_{k=1}^{n}k^2\]

という公式の形になるのである。とくに面倒な計算をしなくても解けてしまう。

ちゃんと数学をやっている生徒なら解けるはずの問題である。

こうした問題を解かせてみると、普段やっていることの問題点が見えてくる。

頭を使わずに闇雲に問題を繰り返すような勉強ではマズい。

高1でも、余弦定理を扱ったのだが、似たような話になった。

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\]

というのが公式で、これを覚えることばかりに意識が行っている人が多い。

「余弦定理はこういうのです、覚えてください。」

なんて言ってる人の話は絶対に聞いてはいけない(笑)

それでは、ほとんど意味はないのである。

この数式から何を読み取るかということが大事である。

未知数ということに着目して考えてみると、三角形の2辺と1角が分かれば、残りの1辺が求められるということが分かる。

また、3辺が分かっていれば、\(cos\)の値を求めることができる、ということが分かる。

こうして捉えておくことで、余弦定理をどういう場面で用いることができるかも理解できる。

数式をただの記号のように暗記する人が多いが、そこに込められた意味を考えなければ宝の持ち腐れなのだ。

というわけで、進研模試の結果も返ってきて、悲喜交々の生徒たちにジャブを喰らわせておいた(笑)

ちゃんと勉強すると、数学って本当に面白いんだよ。

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