いよいよ今日で8月も終わりである。あー、ほんとに疲れた（笑）
そんなヘロヘロの夏休みの締めは、高1数学と高2数学の授業。
今回も、面白い問題を取り上げておいた。シグマの基本的な計算問題である。
毎年、できる人とそうでない人の差が大きくつく問題である。
\[\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)^2\]
これ、シグマの中を展開してチマチマと計算する人が多いので、ちょっとびっくりする。
俺は面倒臭がりなんで、そんな計算したくない（笑）
実はこれ、具体的に和の形に戻していくと「なんだ、そんな問題か」となる有名な問題。
実際に \(k\) に1から \(n\) までの値を代入して和の形にすると
\[\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)^2=n^2+(n-1)^2+(n-3)^2\cdots+1^2\]
という形になって、\(n\) から1までの自然数の2乗の和になる。ひっくり返せば
\[1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2\]
となるので、結局
\[\sum_{k=1}^{n}k^2\]
という公式の形になるのである。とくに面倒な計算をしなくても解けてしまう。
ちゃんと数学をやっている生徒なら解けるはずの問題である。
こうした問題を解かせてみると、普段やっていることの問題点が見えてくる。
頭を使わずに闇雲に問題を繰り返すような勉強ではマズい。
高1でも、余弦定理を扱ったのだが、似たような話になった。
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\]
というのが公式で、これを覚えることばかりに意識が行っている人が多い。
「余弦定理はこういうのです、覚えてください。」
なんて言ってる人の話は絶対に聞いてはいけない（笑）
それでは、ほとんど意味はないのである。
この数式から何を読み取るかということが大事である。
未知数ということに着目して考えてみると、三角形の2辺と1角が分かれば、残りの1辺が求められるということが分かる。
また、3辺が分かっていれば、\(cos\)の値を求めることができる、ということが分かる。
こうして捉えておくことで、余弦定理をどういう場面で用いることができるかも理解できる。
数式をただの記号のように暗記する人が多いが、そこに込められた意味を考えなければ宝の持ち腐れなのだ。
というわけで、進研模試の結果も返ってきて、悲喜交々の生徒たちにジャブを喰らわせておいた（笑）
ちゃんと勉強すると、数学って本当に面白いんだよ。