カージオイド

今日は高3の積分の授業でカージオイドの面積の問題をやりました。

カージオイドが円と対応するところから考える問題です。

問題
$\mathrm{O}-xy$ 平面上の点A$(-1,\ 0)$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ 上の点 $\mathrm{P}$ における接線へ,原点 $\mathrm{O}$ から下ろした垂線の足を $\mathrm{Q}$ とする.点 $\mathrm{P}$ が, $\mathrm{O}$ を出発点とし,$C$上を角速度 $1$ ラジアン/秒で反時計回りに回転するとき,
(1) $t$ 秒後の $\mathrm{Q}$ の位置 $(x(t),\ y(t))$ を求めよ.
(2) $\mathrm{P}$ が $C$ 上を $1$ 周するとき, $\mathrm{Q}$ の描く曲線の概形を描き,この曲線が囲む図形の面積を求めよ.

という問題でした。(1)で媒介変数表示するわけですが、一般的にはカージオイドは極方程式で表す方がシンプルです。

一般的にカージオイドを極方程式で表すと

$$r=a(1+\cos\theta)$$

となります。これに、$x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ を用いて $r$ を消去すると

$$x=a(1+\cos\theta)\cos\theta$$

$$y=a(1+\cos\theta)\sin\theta$$

となって媒介変数表示が求まります。

さらに、(2)で面積を求めることになりますが、媒介変数表示から面積を求めるのは少し面倒です。

極方程式を用いて一般のカージオイドの面積を求めると

\begin{align*}
S&=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}r^2\,d\theta\\
&=\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta
\end{align*}
とできます。こちらの方がシンプルになりますね。

この積分を計算すると(自分でやってくださいね)

$$S=\frac{3}{2}\pi a^2$$

となります。上の問題では多少違う部分が出てきますが、考え方は同じです。

媒介変数表示のままでも計算できなくはないのですが、ちょっと注意が必要となります。

2次曲線で極方程式をせっかく勉強するのですから、積極的に使ってみようという姿勢が大切です。

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