カージオイド

今日は高3の積分の授業でカージオイドの面積の問題をやりました。

カージオイドが円と対応するところから考える問題です。

問題
\(\mathrm{O}-xy\) 平面上の点A\((-1,\ 0)\) を中心とする半径 \(1\) の円 \(C\) 上の点 \(\mathrm{P}\) における接線へ,原点 \(\mathrm{O}\) から下ろした垂線の足を \(\mathrm{Q}\) とする.点 \(\mathrm{P}\) が, \(\mathrm{O}\) を出発点とし,\(C\)上を角速度 \(1\) ラジアン/秒で反時計回りに回転するとき,
(1) \(t\) 秒後の \(\mathrm{Q}\) の位置 \((x(t),\ y(t))\) を求めよ.
(2) \(\mathrm{P}\) が \(C\) 上を \(1\) 周するとき, \(\mathrm{Q}\) の描く曲線の概形を描き,この曲線が囲む図形の面積を求めよ.

という問題でした。(1)で媒介変数表示するわけですが、一般的にはカージオイドは極方程式で表す方がシンプルです。

一般的にカージオイドを極方程式で表すと

$$r=a(1+\cos\theta)$$

となります。これに、\(x=r\cos\theta\)、\(y=r\sin\theta\) を用いて \(r\) を消去すると

$$x=a(1+\cos\theta)\cos\theta$$

$$y=a(1+\cos\theta)\sin\theta$$

となって媒介変数表示が求まります。

さらに、(2)で面積を求めることになりますが、媒介変数表示から面積を求めるのは少し面倒です。

極方程式を用いて一般のカージオイドの面積を求めると

\begin{align*}
S&=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}r^2\,d\theta\\
&=\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta
\end{align*}
とできます。こちらの方がシンプルになりますね。

この積分を計算すると(自分でやってくださいね)

$$S=\frac{3}{2}\pi a^2$$

となります。上の問題では多少違う部分が出てきますが、考え方は同じです。

媒介変数表示のままでも計算できなくはないのですが、ちょっと注意が必要となります。

2次曲線で極方程式をせっかく勉強するのですから、積極的に使ってみようという姿勢が大切です。

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