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数学勉強法

ホンネを言えば

数学難民
数学ができるようになるにはどうしたらいいですか?

数学を教えていると、こういう質問をしてくる生徒が少なからずいます。

塾長
そういう質問が出るうちは出来るようにはならんなあ

と、ちょっとイジワルな返答をすると生徒は不満気な顔をします。

とある人
チャート式を5周するんや〜

などという具体的な答えを期待しているのでしょう。

そういう質問をしてくる人に対しては、「どうしたら数学ができるか」という問いがあるのだから仮説を立てていろいろ検証してみればいいのに、と思ってしまいます。せっかく考える機会が得られたのに、それを捨てて安易に答えを求めるようでは数学ができるようになるのは難しいでしょう。

個人的には、数学ができるようになるには考えること以外に方法はないと思います。これが私のホンネです。

とはいえ、生徒も困り果ててこうした質問をしてくるのでしょうから、ある程度の道標は必要です。そこで、今回は数学勉強法について考えてみたいと思います。

あらかじめ断っておきますが、私はこう考えています。

絶対的に正しい勉強法は存在しない

絶対的なものを求める学生の気持ちもわかりますが、勉強法というのは誰かに教わるものではなく、試行錯誤しながら自分に合ったものを見つけていくものだと考えます。

そのことを念頭に置いて、以下の記事を参考にしていただければと思います。

「数学ができる」の意味

最初に「数学ができる」という意味について考えてみます。

「数学ができるとはどういうことか」というのは、曖昧、抽象的であるためなかなか難しい問題です。

生徒の言う「数学ができる」とは、たいていの場合「テストで点数が取れる」ということを意味しているように思います。

しかし、これには違和感を感じる人もいるでしょう。私もそうです。

中学生や高校生にとっては、テストの点数くらいしかモノサシになるものがないため、「テストの点数が良い=数学ができる」と考えてしまうのは致し方ないことだと思います。

塾長
点数は取れてるけど、実際はよく分かってないって生徒もたくさんいるんだよなあ

しかし、実際に中高生を指導してきた経験から感じることは、数学ができることとテストの点数が良いことは必ずしもイコールではないということです。

個人的には「数学ができる」という言葉からイメージするのは「論理的に考える」とか「さまざまな問題に数学を応用して考えることができる」といった感じです。

中高生のレベルで考えるなら「数学ができる」というのは次のようなイメージです。

数学(教科書)を理解し適切に応用できる

ここではこのように考えて話を進めていこうと思います。それは違うぞ、という人はここで読むのをやめてくださいね(笑)

数学の学び方

さて、ここからが本題です。(毎回、前置きが長くてすみません。)

数学勉強法、すなわち数学の学び方について私なりの考え方を述べようと思います。

数学の勉強の仕方には、大雑把に分けて2つの方法があると考えています。

1つは正攻法で数学と真正面からぶつかるようなやり方です。将来は理系に進んで研究などをしたい、あるいは理数系の専門職を目指したい人などには向いているのではないかと思うものです。

もう1つは、とにかく大学に合格したい、テストの点数を上げたいという短期的な目標に対するやり方です。

どちらがどうということもないのですが、個人的には前者のような取り組み方の学生が増えてくれるといいなあと思っています。

塾長
試験が終わったら何も残らないってのは意味がないよ。なんの能力も身についてないってことだからね。

正攻法の学び方

自分自身の経験から、正攻法と思える数学の学び方は

数学の良い本を見つけて、それを徹底的に読み込む

ということでしょう。紙と鉛筆を持ってあれこれ自分でも確かめながら1行ずつしっかりと読む、という地道な方法が数学を学ぶ正攻法と言えるのではないでしょうか。

なんだそんなことか、と思われる方も多いかもしれませんが、こういう勉強を実践している中高生はあまり多くないのが現状です。

教科書もそこそこに問題集をやり、分からなければ解答を見て、何となく分かったような分からないような感じで進めている人が多いように思います。

実際、高校で数学が分からなくなったと言ってうちの塾へやってくる生徒の大半が、こうした演習偏重の勉強をやっていた生徒です。

逆に、数学に秀でている生徒たちの多くは、もちろん演習もやりますが、それ以上に理解のために(あるいは純粋な興味から)テキストや数学の本をよく読んでいる印象を受けます。

数学が得意だから数学の本を読めるのではないか?という指摘もあるかもしれません。

もちろん、数学が得意な生徒の方が、数学の本に抵抗なく入っていけるとは思いますが、得意でないから読めないということはないと思います。

塾生の中には、中学生の頃にお世辞にも数学が得意とは言えなかった(平均点以下の)生徒が、高校に入って塾のテキストをボロボロになるまで読み込み、最後には数学が得意科目になって国立大学の理系学部へ進学したという事例も多くあります。

そういう生徒は、1日1ページなんていう亀のようなスピードであっても辛抱強く読んでいる傾向があります。

ただし、良い本を選ばなければ挫折する可能性も大いにあります。そういう点では教科書が最良ですが、自力で読み進めるには内容的に不親切な部分も多いため、難しい部分もあります。幸いにも最近は良く書かれた入門書なども多く、しっかりと選べば自分にあった本を見つけられる可能性は高いと思います。

定義・定理をよく理解する

定義や定理といったものが重要なのは言うまでもありません。これらは数学のルールを定めるものです。

「定義や定理なら覚えています」という生徒は結構多いのですが、結果だけを単体で覚えていても有効ではありません。覚えていないとかうろ覚えだという状態よりは遥かにマシですが、それらをなぞるだけでは理解したとは言えないということです。

とくに定理に関しては、証明にも必ず触れておくことが大事です。

証明をすっ飛ばして、結果だけを用いて問題を解こうとする人もいますが、そういう人は少し難しい問題になると途端に解けないという状態に陥ったり、重大な論理ミスをしてしまいがちです。定理や公式は単体の知識ではなく1つの体系を作っていると考えましょう。

他とのつながりを意識しながら体系的に理解していく

また、公式などは忘れたとしても、自分でいつでも導けるように準備しておくことも重要ですね。

塾長
こういう話をすると、「それって意味あるんですか」とか「そういうのってテストに出ますか」ということを聞いてくる生徒がたまにいるのでガックリきてしまう。証明なんかは、そのままテストに出ることは少ないかもしれないけど、そこで考えたことは、テストの問題の中にひっそりと隠れて出てきてたりするんだよ。だから、ちゃんと理解してる人は「テストにもよく出ますね」って言うんだけど、そうでない人は「こんなの全然出ないし意味ないね」と言うわけ。この認識の違いは大きいね。

いずれにしても、定義や定理の理解には、次で述べる具体例が必ずセットになります。

具体と抽象を行き来する

数学の本では、定義、定理、証明、例という流れで書かれているものがほとんどです。

定義や定理というのは一般化された抽象的なものなので、必ずそれらを具体例で応用してみることが大切です。

テキストの例や問題集を用いて、いろいろな具体例に触れることが理解を深めます。

このとき、やみくもに問題を解くのではなく、目的を持って取り組むことが大切です。

定義や定理がどのような場面で有効であるか、確認すべきことは何なのか、どのように議論を進めていくべきか、といったことを常に意識しながら具体例に取り組むと良いでしょう。

逆に具体例(問題)の中では、ポイントになる部分、つまり不明瞭な部分を徹底的に考えることが大切です。

ここで分かったふりをしてしまったり、何となくこんな感じかなで済ませてしまってはダメです。

理解できていないことを明確にする

このことは数学の勉強の中でもかなり重要な事柄です。

自分の頭で徹底的に考え、腑に落ちるまで考えて欲しいと思います。

塾長
30分くらい問題とにらめっこして「めっちゃ考えたんですけど分かりません」と言う人もいる一方で、1ヶ月くらい同じ問題をあ〜でもないこ〜でもないって納得できるまで考えてる生徒もいるんだよ。大事なのは「徹底的」というのが時間で測るものじゃないよってことだね。

考えることに時間をかけない人は、いつまでたっても数学を理解するという状態には至らないと考えます。

いずれにせよ、具体と抽象を行き来することで、双方の理解が深まっていくことは確かです。

そして、それらがうまく頭の中でつながったときに「ああ、なんだ、そういうことなんだ」という一つの感動が(考えた分に応じて)得られるはずです。

この経験は多ければ多いほど数学が楽しいものになっていくと思います。

理解できないものに出会ったら

抽象的な表現が理解できずに立ち止まることはしばしばあります。

その時にはいったん保留するということも忘れてはいけません。

理解できていないことを自分で認識した上で、先に進むことと、後戻りすることを両方やってみるいいでしょう。

先にも述べたように、定義や定理といったものは、単体の知識ではなく他とのつながりが重要です。

それらが理解できないからといって、ずっと立ち止まっていては埒が明きません。

そういう場合には、思い切って先に進んでみて、具体例をもとに照らし合わせて考えてみることも必要です。

あるいは、分からない部分に先立つ部分の理解が曖昧であることもあります。

そういう場合にも備えて、後戻りしてもう一度考えてみることも必要です。その上で、もう一度知識を組み直してみるといいかもしれません。

分からないことはどんどん質問する

これも大切なことです。質問をすることは、質問をする側にもされる側にもメリットがあります。デメリットなんてほとんどありません。質問をすると、一度自分の中で整理して言語化することになるので、頭の中で考えているだけでは気づかないことが見えたりします。生徒にもよくいるのですが、質問をしながら「あ、何でもないです。分かりました。」と途中で理解する人もたくさんいます。

また、質問を受ける側としては、生徒の躓きやすいポイントが分かったり、次に指導する際のヒントをもらえたりとありがたいことしかありません。

塾長
ちょっと図々しかなあ、なんて遠慮する人もいるけど、そんなことお構いなしにどんどん質問すべき。数学の先生で質問されるのを嫌がる人なんていないぞ!

ただ、指導者によっては「それは前に教えただろう」とか「そんなことも分からないのか」とか「質問の仕方が悪い」なんていう返答をする人もいますが、そういう人は指導者であってはならない人なので、さっさと別の人に聞きましょう。

これも大事なことなのですが、良い指導者と巡り会えるかどうかというのは非常に重要なことだと思います。

運に左右されるので難しいのですが、良い指導者を探すことも必要かなあと思ったりします。

さて、こうした正攻法の勉強には時間がかかるというデメリットもあります。

進学校などでは授業のペースも早いため、追いつかなくなってしまう可能性も大いにあります。

個人的には、自分のペースで学ぶことがいちばんだと思いますが、そうも言っていられないというのが高校生の現状でしょう。

それでも、可能な限り時間をかけてじっくり考えて欲しいというのが私の考えです。

テストで点数を上げる方法

あまり言及したくないのですが(笑)触れないわけにはいかないので、テストの点数を上げる方法について私見を述べておきます。

まず、数学のテストで点数が取れる人には大雑把に分けると2つのタイプに分類できます。

最小限の知識をもとに論理的に考えて解く思考力重視タイプ
記憶力を武器に解法パターンを駆使して解く暗記重視タイプ

この2つのタイプのうち、数学のテストで点数が良い人には後者のタイプがかなり多く存在します。

生徒に数学の問題についてヒアリングをしてみてもその傾向は顕著です。

これは、数学のテストの性質上そのようになってしまうということもあるでしょう。

実際に、高校の定期試験ではだいたい80分で大問数が10前後の問題を解かなければなりません。1つの大問(その中にいくつかの小問も含まれています)に10分もかけられない計算になります。このような試験において「考えて解く」方法で高得点を取るのは難しいと言えます。

塾長
こういう勉強をしてきた人は、知ってる問題にはとても強くて一気に解いてしまったりするんだけど、知らない問題が出てきたときに、不自然なこと(デタラメ)をやっていたり、まったく手も足も出なかったりするというタイプが多い。だから、知らない問題をなるべく少なくしようという思考になるんだろうね。でも、ある程度のレベルまでならそれが通用するっていうのがなあ・・・

そのため、試験範囲の問題や過去問などを片っぱしから解き、その解法を暗記して、問題を見た瞬間に解法を当てはめられるようにパターンを分類する、といったような勉強が適しているわけです。

模試の場合にも、問題数や難易度などは多少異なりますが状況は似たようなものかもしれません。国立大の2次試験あたりになると、大問4つで120分とか大問6つで150分とかになるので、かなり雰囲気は異なってきます。それでも少ないかもしれませんが。

こう考えると次のような主張もあり得るわけです。

「テスト・受験」という閉じられた世界においては、解法パターンを可能な限り暗記し、類題をたくさんやる勉強法が有利である

実際に、学校での指導もこのような形式に変化してきていると感じています。手っ取り早くテストの点数を上げて合格実績を作るにはこの方法が最適だからでしょう。こういうことから「チャート式を○周する」などといった勉強法が広まっているのかもしれません。

あるいは、大量の課題を与えて徹底反復し、とにかく量をこなすという方法も同様でしょう。

「あ、これ進○ゼミでやった問題だ!」の世界ですね。

実際にテストの点数は上げやすいと思います。また、数学はあまり好きではないけれど、どうしてもテストで点が必要だという人には、こうした勉強の方が合っているかもしれません。

しかし、この方法には「テストで点数を取る」こと以外に得るものがほとんどないという重大な問題点があります。

テストというものがなくなってしまえば、後に何も残らないものとなってしまうでしょう。テストの成績は上がるかもしれませんが、数学の本質からはどんどん遠ざかっていくのではないかという危惧があります。「これはテストのための勉強だ」と割り切ってやればいいのですが、何だか時間の無駄だなあという思いが少なからずあります。

しかし、現状のシステムにおいては、ある程度割り切ったこういう勉強も必要かもしれません。

まとめ

今回は大雑把に2つの勉強法について言及しましたが、最初に述べたように絶対的に正しい勉強法は存在しないと思っています。

また、記事にしてみて、言葉だけで説明することにも限界があるなあと思いました。

個人個人が抱えている問題もそれぞれでしょうから、やはり勉強法もそれぞれ変わってくるものだと思います。(そういう意味では、身近に良き指導者がいるということも大事な条件かもしれません。)

どのような方法であってもメリットやデメリットはあります。

まずは、自分がどのようなものを求めているかをはっきりとさせ、それにあった勉強法を考えてみることでしょう。

その上で、私個人としては、数学を理解しその面白さに気づけるような勉強をしてもらえたらなあと思います。

数学の勉強を通して、一生使える数学の能力を身につけてくれるといいなあと思います。

この記事がそのヒントにでもなれば幸いです。

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