今日は高3の複素数平面の授業だった。まあ、複素数平面っていうかほとんどベクトルの話だったけど。
複素数平面上で図形を考察する場合に有効ないくつかの定理を扱ったけど、ベクトルとして考えればいつでも自分で導けることを強調しておいた。
数学を勉強するときに個人的に注意しているのは、証明であったり問題であったりというのを読んだり解いたりした後、あるいは読みながら解きながら、自分の中で必ず再構築してみるということである。そのままの形を再現することもそうだし、少しアレンジを加えてみるとどうなるかを考えてもいい。そうして、1つ1つの内容を深く掘り下げていくことが理解へとつながっていく。
「高校数学は難しい」という人も多い。もちろん、中学生から高校生になったばかりの人などには難しく思えるかもしれない。でも、そこから1つ1つきちんと分かろうという姿勢でやっていくと、だんだんと繋がる部分が増えて、さらに理解が深まっていくものである。
たとえば、三角形の面積の公式がいくつか出てくる。
\begin{align*} \displaystyle \frac{1}{2}ab\sin C\end{align*}
\begin{align*} \displaystyle \frac{abc}{4R}\end{align*}
\begin{align*} \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\mid \overrightarrow{AB}\mid^2\cdot\mid \overrightarrow{AC}\mid^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2}\end{align*}
他にもヘロンの公式とかあるけど、これらが全部別物に見えるという生徒が少なからずいる。
これらの三角形の面積公式は、中学校でやった \(\displaystyle 底辺\times 高さ\times \frac{1}{2}\) という公式の派生にすぎない。だから公式の導出（証明）を丁寧に理解しておけばわざわざ覚えなくてもいいし、忘れてしまっても自分で導ける。
というようなことを、ちょくちょく言ってるけど、やっぱり何も考えずに覚えてしまう生徒もいる。
複素数のところでも、ド・モアブルの定理を利用して三角関数の2倍角公式や3倍角公式が簡単に導けたりする。そういうことを自分でやってみることで、面白さが少しずつ分かってくるようになる。
点数が取れるから面白いという人もいるんだけど、それじゃちょっと物足りないって思ってほしいんだよなあ。