相加平均と相乗平均

数学IIの不等式のところで、相加平均と相乗平均の不等式が出てくる。

$$\displaystyle \frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$$

算術平均と幾何平均という言い方もあるけれど、名前は置いておくとして、この不等式を用いる機会は案外多い。

んでもって「よく分からん」という人が結構いたりする。

今は、便利な時代になったので、インターネットで検索すれば解説が出てくる。

ちなみに検索してみると、進研ゼミの解説が出てきた。こんなのもあった。

こういうので「分かった!」となるもんなんだろうか? 俺にはよく分からない。

ちなみに、相加平均と相乗平均については、ふつうにイメージから当たり前だなと理解できるものだ。

まず下のような長方形を考える。

この長方形の面積は $ab$ である。これを、4枚下のように配置する。

 

 

このとき、いちばん大きい正方形(1辺が $a+b$ の正方形)と長方形4つの面積を比べると

$$(a+b)^2\geqq 4ab$$

という不等式が成り立つのは当たり前に思えるだろう。ちなみに、等号が成立するのは、真ん中の色付きの正方形が消えてしまうとき、つまり $a=b$ のときである。もっといえば、最初の長方形を正方形にして4枚並べるときである。

で、上の不等式を変形すれば、

\begin{align*}&\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\geqq ab\\&\frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}\end{align*}

という、相加平均・相乗平均の不等式が得られる。

 

教科書の証明は式の変形から示してあるけど、その意味をきちんと解釈するとこんな感じになる。

イメージとともに記憶しておくというのは大事だぞー。

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