数学IIIの大切な極限

学校の授業は積分に入っているらしいけど、うちの授業はまだまだ微分である。

学校の授業はほいほい進んでいるけれど、生徒の理解はイマイチのようなのできちんとフォローをしなければならない。

数学IIIの内容は理学系や工学系に進む人にとっては非常に重要な内容である。

もちろん、理系は入試において数学IIIの内容が多いということもあるけど、大学入ってからの話である。

卒塾生の話を聞いていると、理系なのに積分すらマトモにできない人がかなりいるらしい。

大学の講義についていけず、過去問を必死でやってなんとか単位を取るなんていう学生が結構いるようだ。

まあ、合格することを目的にやっているとそうなるのだろう。もったいないなあ。

代わりに講義受けたいけどな(笑)

 

まあ、そんなわけで数学IIIはきちんと教科書内容を理解していくべきなのだ。数学IIIに限った話じゃないけど。

昨日は、重要な極限について扱った。たまには、どういう授業をしてるのか紹介しておこう(笑)

数学IIIの極限で大切なのは

\begin{align*}\displaystyle &\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\\&\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\\&\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1\end{align*}

の3つ。これを丸暗記している人も多いのだけど、どうせ覚えるならちょっと工夫したい。

これは、グラフと微分係数と上の3つの極限をセットにして覚えるとお得である(と思っている)。

\(f(x)=\sin x\) の \(x=0\) における微分係数(接線の傾き)は1なので、微分係数の定義から

$$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$

となる。

\(f(x)=e^x\) の \(x=0\) における微分係数(接線の傾き)は1なので、同様に

$$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-e^0}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$$

となる。

\(f(x)=\log x\) の \(x=1\) における微分係数(接線の傾き)は1なので、これまた同様に

$$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\log x-\log 1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{\log x-0}{x-1}=1$$

これだけ \(x\to 1\) になってて気持ち悪いから、\(t=x-1\) としてあげる。

\(x\to 1\) のとき \(t\to 0\)、\(x=1+t\) だから、結局

$$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\log x-0}{x-1}=\lim_{t\to0}\frac{\log(1+t)}{t}=1$$

となる。

これを1回自分でやっておけば印象的に記憶できるので、忘れてもグラフから導ける。

ちなみに、\(\displaystyle \lim_{x\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=1\) も3つ目の極限の式から導ける。

 

人間というのは忘れる生き物なので、忘れることを前提に勉強しなくてはならない。

とくに数学では、記号的な暗記をしたところでその中身が理解できていなければすぐに忘れてしまうのである。

「完璧に覚えるぞ」などと言って、この極限の式を紙に50回書いても意味がない。

だから、きちんと自分の頭と手を使って「そういうことかあ」と実感しながら覚えていくことが大事である。

数学IIIは難しいという人が多いようだけど、問題集に手を出す前に、きちんと教科書内容を掘り下げてみるといい。

いろいろな発見があるだろうし、問題について考えるときに有効なものがたくさん見つかるのである。

ただ、上で紹介したようなことは残念ながら教科書には書いていない。こういうのは、数学に詳しい指導者について教わるしかないのかもしれない。

本来は、学校の授業で教科書をきちんと掘り下げるべきなんだけど、受験対策の方が大事だという高校が多いようで、なかなか教科書内容を深く扱ってもらえないようである。残念だ。

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