図形と方程式の問題

本日のお題はこちらです。高校2年生の図形と方程式の範囲から。

問題
\(10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0\) が2直線を表すときの \(k\) の値を求めよ。ただし、\(k\) は整数とする。
与式を \(y\) の2次方程式と見て
$$2y^2+(kx-4)y+(10x^2-9x+2)=0\ \cdots\cdots(\ast)$$
$$y=\frac{-(kx-4)\pm \sqrt{D_y}}{4}\ \cdots\cdots(1)$$
ただし、\(D_y\) は \((\ast)\) の判別式とする。ここで、
\begin{align*}D_y&=(kx-4)^2-8(10x^2-9x+2)\\&=(k^2-80)x^2+8(9-k)x\end{align*}
(1)が2直線を表すのは \(\sqrt{D_y}\) が \(x\) の1次式のとき、または、定数のときだが、\(D_y\) は定数ではない。
よって、\(\sqrt{D_y}\) が \(x\) の1次式、すなわち、\(D_y\) が \(x\) の完全平方式となればよい。
したがって、\(D_y=0\) の判別式を \(D_x\) とすると
$$\begin{cases}k^2-80\neq 0\\\frac{D_x}{4}=16(9-k)^2=0\end{cases}$$
$$\begin{cases}k\neq \pm 4\sqrt{5}\\k=9\end{cases}$$
よって、\(k=9\)

 

高校2年生まである程度順調に来ている人ならば、それほど困らずに解ける問題です。

毎年、この問題をやっていると分かるのですが、「そこそこ成績が良い」というレベルの人が撃沈します。

解答を見たら理解できるという人もいるでしょうが、個人的にはきちんと解けて欲しいなあという問題です。

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