本日のお題はこちらです。高校2年生の図形と方程式の範囲から。
$10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0$ が2直線を表すときの $k$ の値を求めよ。ただし、$k$ は整数とする。
与式を $y$ の2次方程式と見て
$$2y^2+(kx-4)y+(10x^2-9x+2)=0\ \cdots\cdots(\ast)$$
$$y=\frac{-(kx-4)\pm \sqrt{D_y}}{4}\ \cdots\cdots(1)$$
ただし、$D_y$ は $(\ast)$ の判別式とする。ここで、
\begin{align*}
D_y&=(kx-4)^2-8(10x^2-9x+2)\\
&=(k^2-80)x^2+8(9-k)x
\end{align*}
(1)が2直線を表すのは $\sqrt{D_y}$ が $x$ の1次式のとき、または、定数のときだが、$D_y$ は定数ではない。
よって、$\sqrt{D_y}$ が $x$ の1次式、すなわち、$D_y$ が $x$ の完全平方式となればよい。
したがって、$D_y=0$ の判別式を $D_x$ とすると
$$\begin{cases}k^2-80\neq 0\\\frac{D_x}{4}=16(9-k)^2=0\end{cases}$$
$$\begin{cases}k\neq \pm 4\sqrt{5}\\k=9\end{cases}$$
よって、$k=9$
高校2年生まである程度順調に来ている人ならば、それほど困らずに解ける問題です。
毎年、この問題をやっていると分かるのですが、「そこそこ成績が良い」というレベルの人が撃沈します。
解答を見たら理解できるという人もいるでしょうが、個人的にはきちんと解けて欲しいなあという問題です。