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9で割り切れるかどうかという問題

先日、生徒から質問を受けた問題に「9で割り切れるかどうか」という問題がありました。

塾長
整数の単元は「苦手」「難しい」っていう人が多いんだけど、そういうタイプの人はやっぱり「解法重視」の勉強になってしまっているんじゃないかなあと思う。

ホワイトボードを使って、生徒と2人でああでもないこうでもないなんてやりながら考えるのはとても面白かったです。

結局は各桁の数を足して9で割り切れるかどうかを考えることで解決したのですが、なぜそれが成り立つかという話もなかなか楽しいものでした。

例えば、$513$ は $5+1+3=9$ となるので9の倍数であることが分かります。

では、なぜこれが成り立つのかという話になると、それをきちんと説明できる生徒はあまりいません。

せっかく整数を学んでいるのに、これではちょっともったいないですね。

例えば、$N=abcd$ という整数(10進数です)を考えてみます。

\begin{align*}
N=10^3a+10^2b+10c+d
\end{align*}

と表されるのは記数法でも学ぶ内容です。

さらに、これを9を使って次のように表してみます。

\begin{align*}
N=(9+1)^3a+(9+1)^2b+(9+1)c+d
\end{align*}

となります。カンがいい人はこのあたりで「あっ」となると思います。

$(9+1)^3$を展開すると、

\begin{align*}
(9+1)^3=9^3+3\cdot 9^2+3\cdot 9+1
\end{align*}

となります。このとき、9の倍数かどうかだけを問題にするので、9を含む項をまとめて $9M$ とすると

\begin{align*}
(9+1)^3=9M+1
\end{align*}

となります。同じようにして $(9+1)^2$ についても

\begin{align*}
(9+1)^2=9^2+2\cdot 9+1
\end{align*}

となるので $9M+1$と表すことができます。

なお、$(9+1)^4$、$(9+1)^5$、$\cdots$、$(9+1)^n$ となった場合でも、分配法則による計算を考えると、すべて $9M+1$ と表すことができます。

結局、$N=10^3a+10^2b+10c+d$ は

\begin{align*}
N=(9M+1)a+(9M+1)b+(9M+1)c+d
\end{align*}

となり、$9M$ をくくり出すと

\begin{align*}
N=9M(a+b+c)+a+b+c+d
\end{align*}

となります。

したがって、$N$ が9で割り切れるかどうかは、$a+b+c+d$ が9で割り切れるかどうかによって決まることが分かります。

つまり、各桁の数の和が9で割り切れる(9の倍数である)かどうかを考えればOKということになります。

こうした問題において、9の倍数になる整数は各桁の数の和が9の倍数となると覚えてしまえばほとんどの類題は解けると思います。しかし、これだと単に知っているというだけで理解したとは言えないと私は思うのです。悲しいことに、そうした高校生がかなり多いのが実情です。

「なぜそれが成り立つんだろう」という疑問を持って掘り下げてみることで、正しい理解へとつながっていくと思うのですが、その手前で終わってしまう人が多いのです。これは、非常にもったいないことだと思っています。まあ、そんな悠長なことをやってる暇はないということなんでしょうが、中学生にしても高校生にしても、もう少し時間にゆとりがあれば、もっと違った感じでやれるのにと歯がゆい思いをすることがしばしばあります。

仕方のない部分もありますが、何とかこういう時間を作って考えることを楽しんでもらいたいというのが個人的な思いです。授業でももっとこうした部分を取り上げていきたいなあと考える今日この頃です。

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