等差数列の基本的な問題で遊んだ

高2生は数列をやっているところですが、本日は基本的な問題を使って超基本的なことをあれこれとやりました。

問題はこちらです。

等差数列 $\{a_n\}$ が $a_8=31$,$a_{15}=59$ を満たしている.
(1) $a_n$ を $n$ で表せ.
(2) $50\leqq a_n\leqq 100$ を満たす $a_n$ の総和を求めよ.

だいたいの生徒はこんな風な答案を作ってきます。

初項を $a_1$ 、公差を $d$ とすると、$a_n=a_1+(n-1)d$ だから

\begin{align*}
&a_1+7d=31\\
&a_1+14d=59
\end{align*}

これを解いて、$a_1=3$ 、$d=4$

したがって、$a_n=3+4(n-1)=4n-1$

ふむふむ、しっかりと解けているようです。

しかし、次のような答案を見せると「これどうやって解いてるんですか?」と理解できない生徒も出てきます。

$31+7d=59$ より $d=4$

$a_1+7\cdot 4 =31$ より $a_1=3$

したがって、$a_n=3+4(n-1)=4n-1$

実際に考えていることに大差はないと思うのですが、前者は理解できても後者は理解できないという人がいるのに驚きます。そういう人はやはり「解き方」をなぞっているだけであって、等差数列がどういうものかをよく理解できていない可能性があります。確かに、問題集などを見てみると前者のような模範答案が多いようです。

個人的には連立になるのが面倒だなと思うので後者のように考える方が簡単だと感じますが・・・。

いずれにしても、どう解くかは後で出てくるものであって「どう考えるか」が先にあるはずです。この場合、前者であっても後者であっても同じようなことを考えているので、ちゃんと考えている人は後者のように解いても「ああ、そういう風にもできるんだ」と納得しますが、解き方をなぞっているだけの人は後者を理解できないのだと思います。

こうした問題はいろいろなところに潜んでいて、生徒にしてみれば「解けてるからOK」となるのですが、少し視点を変えた問題が出ると解けない、ということになってしまいます。

ちなみに(2)については
\begin{align*}
&50\leqq 4n-1\leqq 100\\
&\frac{51}{4}\leqq n\leqq \frac{101}{4}
\end{align*}

から $n=13,\ 14,\ 15,\ \cdots\cdots,\ 25$ となるので、$a_{13}=51$ 、$a_{25}=99$ から

\begin{align*}
\frac{13(51+99)}{2}=975
\end{align*}

とサクッと計算できます。これも等差数列の和がどのように求められるか(ひっくり返して足して2で割るアレ)を理解していれば何てことはないですね。

数列の和についても $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}a_k$ みたいな計算が分からないという人がいるのですが、やはり基本となる根っこの部分をすっ飛ばしているんだろうなあと思います。

塾長
大量に演習をやっている人にこういう傾向が強く見られます。多分、それぞれの問題がそれぞれの問題で終わってしまっているんだろうなあと想像しています。根っこの部分は同じだよ、っていうことに気づくためには、やっぱり深く考えていくことが大事なんじゃないかなあと思うのです。

問題演習は大事なのですが、どうも「たくさんやる」ということで満足している人が多いように思います。

個人的には、そこから何を見出すかというのが大事だと思うのですが・・・。

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