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第2回金沢市統一テストの数学を解いてみた【塾生必読】

塾長
今日は恒例の解いてみたシリーズ最新版。「第2回金沢市統一テストの数学を解いてみた」です。第1回は簡単だったという人も多かったのですが、蓋を開けてみると数学はそれなりの平均点に落ち着いていました。今回はどうでしょうか?

第2回金沢市統一テストが実施されました。高校生のセンター試験直前期ということもあって、なかなか時間が取れないわけですが、できる限りやってみました。難易度的に大きな変化はなかったようですが、今回の数学で難しいと感じた人は残りの期間、かなり頑張って取り組まないと厳しいかも知れません。

概観

大問8、小問25前後ということで、時間的には前回同様に厳しい問題数だったと言えるでしょう。

大問順に見ると、小問集合、関数、確率、方程式、作図、平面図形、規則性、空間図形という出題でした。入試頻出の分野から満遍なく出題されています。各大問ごとの難易度はそれほど高くありませんが、分量が多いため、処理スピードが遅い人は手が回らなかった問題もあると思います。

前回同様に、いわゆる「奇問」はなく実力が反映される良問が多く含まれたテストでした。受験生の実力も上がっているはずなので、今回は標準的な難易度だったと思います。

全体的な難易度 標準

各問題の概要

大問1

内容 小問集合

難易度 

アドバイス

上位校を狙っている人は満点を取らないとダメですね。毎回のように「計算ミスが〜」となっている人は、計算ミスの原因をしっかりと追求してくださいね。

(3)の変化の割合の問題などは、簡単だからと侮っていると思わぬミスをしたりするので要注意です。また(4)では円周角および中心角がしっかりと見えたかどうかです。こうした基本的な問題は日々の取り組みがモノを言うので、この辺りで失点してしまった人は、クドいくらい基礎をやっていきましょう。

塾長
今回の大問1は非常に基本的な問題ばかりでした。まずはここでしっかりと得点できるようにしておくことが大切です。

大問2(復習おすすめNo.1)

内容 関数

難易度 標準

アドバイス

関数の応用問題で、典型的な動点の問題でした。動点の問題は、それぞれの点の動き方を考えて場合分けをしていく部分が重要です。

今回の問題では2つの動点がありますが、2個同時に処理をするのは大変なので、1つずつ見ていくことが大事です。

Pは毎秒1cmの速さでA→B→C→Dと進んでいくので、これを図に表しておくといいでしょう。

Qは毎秒3cmの速さでA→D→C→Bと進みます。これも図にしておきましょう。

この2つを見ながら、どのタイミングで場合分けをすべきかを考えていきましょう。

$x$の範囲Pの位置Qの位置
$0\leqq x\leqq 4$AB上AD上
$4\leqq x\leqq 6$AB上DC上
$6\leqq x\leqq10$BC上CB上

上のように場合分けが把握できればOKです。

(1)はPQが初めて重なるところなので、P、Qの位置を見て考えます。同じ辺上にあるときに重なるので、上の表から $6\leqq x\leqq 10$ の間で、辺BC上で重なることがわかります。

この「重なる」という部分をどう考えるかがポイントになりますが、図を見ながら実際にP、Qの動きをたどってみると分かりやすいと思います。A→B→C→Dと進むP、A→D→C→Bと進むQがBC上で出会ったときは、以下のようになります。

つまり、P、Qが進んだ距離の合計がABCDの長さと一致すればいいということです。したがって

$$x+3x=18\times 2$$

として求められます。

この問題では、PとQが重なるまでが問題になるので、$6\leqq x\leqq10$ の区間は実際には $6\leqq x\leqq 9$ で考えれば十分です。

(2)も表から $4\leqq x\leqq 6$ の区間を考えればいいですね。このとき、 $4\leqq x\leqq 6$ の適当なところで止めた図を描き出してみます。

図の赤い部分の三角形の面積が $y$ です。これは簡単ですね。APを底辺とみれば、この区間では高さは常に一定でADの長さと一致します。また、APの長さはPが進んだ距離なので $x$ です。したがって、

$$y=\frac{1}{2}\times x \times 12$$

として求められます。

(3)はいろいろな方法が考えられますが、せっかく(2)を考えたので、同じようにして $0\leqq x\leqq 4$ の区間、$6\leqq x\leqq9$ の区間での $y$ がどう表されるかを考えてみたいところです。

$0\leqq x\leqq 4$ では下図のようになります。

このときの面積 $y$ はAPとAQを考えて

$$y=\frac{1}{2}\times x\times 3x$$

となります。$6\leqq x\leqq9$ の区間では下のような図です。ここは少し注意が必要です。

PQの長さは(2)で考えたことを応用していきましょう。PQが重なる時は、Pが進んだ距離とQが進んだ距離の合計が36になれば良かったわけですが、ここでは重なる前の段階です。したがって、Pが進んだ距離とQが進んだ距離を36から引けばいいと考えます。

$$\mathrm{PQ}=36-(x+3x)$$

となることが分かればOKです。面積は

$$y=\frac{1}{2}\times (36-4x)\times 6$$

となります。さて、あとは面積が12となるときを考えますが、いきなり計算で求めるのは少し芸がありません。ここはグラフを用いて考えてみます。

それぞれの区間でグラフを描けば、上のようなグラフが出来上がります。あとは、$y=12$ とグラフが重なる点を考えて計算していきます。

$4\leqq x\leqq 6$ の区間では交点はないので計算する必要はありません。

大問3

内容 確率

難易度 標準

アドバイス

第5回石川県総合模試の大問2とよく似た問題だったので、総合模試を受験した人は手がつきやすかったのではないでしょうか。

手がつけられなかった人はこちらの記事を参照してください。

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実際に格子点を描き出して、直角三角形になる場所を1つ1つ探っていけば問題なくできるでしょう。

B$(2,\ 2)$ となる場合を忘れてしまった人は、一応すべての点で三角形を描いてみることをお勧めします。

なお、Bが $(1,\ 2)$ や $(3,\ 2)$ にあるときも何となく直角三角形っぽくなるのですが、ここは要注意。

これについては、円周角を考えてみると$(1,\ 2)$ や $(3,\ 2)$ にあるときはダメだということが分かります。

図の円弧上にBがあるときは、円周角の定理からすべて $\angle \mathrm{OBA}=90^\circ$ となります。しかし、この円弧は、$(2,\ 2)$ 以外のBが取り得る格子点を通ることはないので、$(1,\ 2)$ や $(3,\ 2)$ はNGとなりますね。

こうした考察は点数とはまったく関係ない話なのですが、考えてみておきたいところです。

大問4

内容 方程式

難易度 標準

アドバイス

これも第5回石川県総合模試の大問4によく似た問題でした。大切なことは、情報を視覚化して把握しやすくするということです。

問題文が長くなると情報を処理できなる人がいますが、こういうタイプの人は1つずつ考えていくといいでしょう。

A組の成功したシュート本数A組の3点シュートA組の2点シュート
$x$ 本8本(x-8) 本
B組の成功したシュート本数B組の3点シュートB組の2点シュート
$(x-4)$ 本$\{(x-4)-5\}$ 本5本

あとは7点差でA組が勝ったとあるので

$$3\times 8+2(x-8)=3\times \{(x-4)-5\}+2\times 5+7$$

とすれば求まりますね。

大問5

内容 作図

難易度 

アドバイス

今回も問題では条件が3つ付いていましたが、順番に考えると案外面倒になります。作図の基本である「等距離」を意識すれば、2番目の条件から考えていくと分かりやすいでしょう。$\angle\mathrm{C}$ の二等分線を引き、あとはBから垂線を引けば、その交点が求める点となります。

大問6

内容 平面図形

難易度 標準

アドバイス

相似と面積比の典型的な問題でした。これくらいのレベルの問題は、上位校を狙う人なら確実に得点したい問題です。

(1)の相似の証明は基本的に2つの角が等しいことを予想して考えていきましょう。平行四辺形、角の二等分線と、角度に関して情報を引き出しやすい条件だったので比較的できている人が多かったように思います。

(2)の線分の長さも、(1)の流れから$\triangle\mathrm{DAH}$が二等辺三角形になることが分かれば簡単です。

(3)の面積比が苦手な人もいると思いますが、基本的な考え方は「高さの等しい三角形」を見つけて線分比(底辺の長さの比)から面積比を考えていくか、相似な図形を見つけて相似比から面積比を考えていくかのいずれかです。

今回は(1)で証明した $\triangle\mathrm{GFE}$ と $\triangle\mathrm{GDH}$ の相似比から面積比を考えます。(1)や(2)であれこれと角度や辺の長さを考えていれば、すぐに相似比が分かるはずです。

大問7

内容 規則性(復習おすすめNo.2)

難易度 標準

アドバイス

規則性の問題をある程度やっている人であれば、どこかで見たような問題だったのではないでしょうか。数学的には、「階差数列」から考えていく問題ですが、そんなことは知らなくても大丈夫です。

規則性の問題では必ずと言っていいほど(1)で具体的な値を考えることになります。このとき、適当に数えるのではなく、きちんと順番に書き出して、隠れた規則を見つけやすくすることが大切です。

(1)の5番目に使われる正方形の個数ですが、下のように推移していきます。

1番目2番目3番目4番目5番目
1個4個9個16個?

大切なのは、$n$ 番目と $n-1$ 番目のを考えていくことです。

1番目と2番目の差2番目と3番目の差3番目と4番目の差4番目と5番目の差
357?

上表のように、$n$ 番目と $n-1$ 番目の差は3から始まる奇数の列になることが予想できます。実際に、5番目の図形を描いてみると分かりますが、正方形の個数は25個となり、4番目のとの差は9になることが分かります。このようなチェックを必ずやっていくことが大切です。

さて、(2)については、どう考えればいいでしょうか。このとき(1)で求めた5番目をきちんと考えましょう。

1番目2番目3番目4番目5番目
1個4個9個16個25個

$n$ 番目の番号と正方形の個数の対応を考えてみると、正方形の個数は

$$n^2$$

となっていることが分かりますね。

(3)では、周の長さが118cmの番号を考えます。これも、一度表を作ってみることが大切です。

1番目2番目3番目4番目5番目
4cm10cm16cm22cm28cm

こうして表にしてみればすぐに分かりますが、周の長さは4をスタートとして6ずつ増えていくことになります。これは等差数列というもので、公式を知っている人は1発で答えが出せますが、そんなものは必要ありません。むしろ、「何が起こっているか」をきちんと考える能力の方が大切です。

1番目4
2番目4+6 
3番目4+6+6
4番目4+6+6+6
5番目4+6+6+6+6
$n$ 番目4+6+6+……+6

このように書き直してみると、どういうことが起こっているか把握しやすいでしょう。最初の4に差である6を何回加えたかをカウントしてみましょう。

2番目では1個、3番目では2個、4番目では3個、5番目では4個となっています。この規則でいけば、$n$ 番目では4に6を $n-1$ 個加えればいいことが分かります。したがって、

$$4+6(n-1)=118$$

となるような $n$ を求めればOKですね。

塾長
規則性の問題では、数列の知識があるとかなり楽になります。しかし、公式だけを覚えて振り回すような人も多く、そのような方法では将来的に行き詰まってしまう可能性も高くなります。中学生に求められているのは、公式を知っているかどうかではなく「どのような規則が隠れているか」を考える能力です。ここを無視して、いたずらに公式だけを覚えるような勉強はやめた方がいいでしょう。

大問8

内容 空間図形

難易度 

アドバイス

時間がなくてたどり着かなかった人や、空間図形だからパスしたという人もいるかもしれませんが、それほど難しい問題ではありませんでした。時間がなくてできなかった人は仕方ありませんが、空間だからといって回避した人はもったいなかったかもしれませんね。

(1)のねじれの位置は定番です。しかし、このあたりの知識が案外曖昧な人がいるので、面と直線の関係などはきちんと復習しておきたいところです。

(2)では、2つ目の最短距離を考える問題が大切です。これも入試では定番中の定番といった問題です。最短距離に関しては、2点を直線でつないだ距離が最短であるということを押さえておきましょう。円錐に紐を巻きつけたりするような問題もよく出ます。

直線を考察するためには展開図を用いて考えるのが手っ取り早いです。ここでも、展開図を書いてしまえば相似を利用して簡単に長さを求めることができます。

まとめ

難易度的には、第1回の統一テストとそれほど大きく変わっていないように思います。前回の統一テストでは「簡単だった」という分析が多かったのですが、結果的に平均点はそこまで高くはありませんでした。現状の高校受験生の学力的に考えても、数学はそこまで平均が高くなることはありません。今回の結果も似たようなものになるのではないかと思います。

いくつか検索で引っかかったサイトを見てみましたが「テキトーなこと言ってるなあ」というものが多く、実際に解いて確かめているのか疑問符がつく分析も多くあります。あるいは点数だけを見ていたり。

受験生の皆さんや保護者の方は、少しでも情報を知りたいという気持ちがあると思いますが、情報に流されすぎないように注意してください。今やるべきことは、本番に向けて少しでも理解を深めることです。とくに、数学はきちんとやりさえすれば差をつけやすい科目でもあります。焦ってあれこれと問題集に手を出したりするのではなく、この時期だからこそもう一度基礎の確認をやっていくことが大切だと思います。

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