今日は高校生たちと根号の計算についてこんな問題をやっていたわけです。
この問題を実際にやってもらうと次のように解いてしまう生徒が多発します。
\begin{align*}
&7-2x<(x+4)^2\\
&7-2x<x^2+8x+16\\
&x^2+10x+9>0\\
&(x+1)(x+9)>0
\end{align*}
したがって $x<-9$ ，$-1<x$
式の変形を何となく惰性でやっていたり、単に「根号は2乗して外す」という感じで解き方のトレースをしている生徒は上のような答案を作ってしまいます。
この答案は明らかに間違っているですが、本人は完璧に解けたと思っている場合が多いので困ります。
問題は2乗して $7-2x<(x+4)^2$ としている部分ですが、実際には
\begin{align*}
\begin{cases}
7-2x<(x+4)^2\\
7-2x\geqq0\\
x+4\geqq0
\end{cases}
\end{align*}
としなければ同値な変形にはならないわけです。
そんなのどこにも載ってないとか誰も教えてくれなかったという人もいますが、教科書にはきちんと書かれているはずです。
$\sqrt{a}$ の定義をきちんと理解していれば「当たり前」の話なのですが、こういう部分を疎かにする人があまりにも多く感じます。
解き方ばかりに目を向けていると、こうした「当たり前」のことを正しく理解できているかを問う問題で足をすくわれることになります。
こういう問題を「意地悪な問題だ」などという人もいますが、私は良い問題だな〜と思います。
「基礎をしっかりと！」などと言う人はたくさんいますが、そういう人に限って、何も考えずにやり方に従うだけの簡単な問題を大量にやることだと勘違いしているように思います。
実際には、基礎の部分がもっとも時間がかかる難しい部分であることが多いのです。
というわけで、学年の最初の方はこうした問題をやりつつ「実は理解してなかった」という部分をあぶり出していくことになります。
そうすると「良い感じの問題」を作るのに手間がかかるんですよね（笑）ああ、時間が欲しい！！