昨日、高校１年生から数学の質問をいただきました。必要条件・十分条件のところの話です。
必要条件や十分条件がイマイチよく分からないということだったので、ちょっと話を聞いてみました。
数学では、$p\Longrightarrow q$ が真であるとき、$p$ を $q$ であるための十分条件、$q$ を $p$ であるための必要条件というわけですが、その生徒はこれを教わるときに矢印の左が十分で右が必要であると教わったそうです（ふぁっ！？）。
これまでも、この必要条件や十分条件についてはトンチンカンな覚え方をたくさん聞かされてきた私ですが、もう何というか
としか言いようがないです・・・。そもそも、$p\Longleftarrow q$ になると逆になっちゃうんですがそれは・・・。
はっきり言ってしまえば「必要条件」だとか「十分条件」だとかいう名前はどうだっていいのです。上記のような方法で記号や用語を覚えたところで何の意味もないですし、それで一体何が分かったことになるんでしょうか。
大切なのは、必要条件だとか十分条件だとかいう名称が、どういうものに対して与えられているかということを理解することです。
論理と命題の話に先んじて集合を学んでいるはずですが、スタートとして上の図ような集合を考えるわけです。$p$ を満たすものの集合がP、$q$ を満たすものの集合がQです。そして、いまQの中にPが含まれているような状況を考えます。このとき、Pの中に入っているものを取ってくればそれは必ずQの中にも入っていることになります。逆に、Qの中に入っているものを取ってきてもそれが必ずしもPに入っているというわけではありません。
簡単な例をあげれば、PがニンジンでQが野菜である状況や、Pが高校生でQが学生である状況です。このような状況を $p\Longrightarrow q$ という記号で表すことになっているわけです。適切な例をたくさん作ってみればすぐに分かるはずです。
で、大切なのは記号や用語ではなく「どういう状況か」ということをちゃんと理解することです。$p\Longrightarrow q$ という表現や必要・十分という言葉は、先に存在しているわけではなく、そうした状況に対して後から付けられたものであるということです。
いくつかの具体例を提示して、さらに本人にも自分で例を作ってもらったら彼はすぐに理解してくれました。
何が分かっていないといけないのか、そこを勘違いしてしまうと不毛な努力を重ねることになります。
このように、数学が苦手になる原因の1つにマズい指導を受けてしまうということがあるのですが、最近はそういう事例が増えているように思います。ただし、これは一概に先生が悪いというわけではありません。そういう点数を取るための安直な方法を教えてくれる先生がいい先生だと判断する人が増えているということでもあります。
この辺りの話は非常に根の深い問題で、そのうちきちんとした記事にしたいなあと考えています（5年後くらいに・・・）。