【石川県総合模試】2019 第4回石川県総合模試の数学を解いてみた【大問3】

塾長
今回の模試の問題の中でも復習しておきたい問題No.1が大問3の関数の問題です。問題の設定がかなり面倒になっていますが、グラフをうまく利用して問題を視覚的に捉えていく練習をしておきましょう。こうしたタイプの問題は入試でも頻出なので「難しそう」だからと敬遠してはいけません!

第4回石川県総合模試(数学)

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大問3(しっかり復習しておきたい問題No.1)

内容 関数

難易度 やや難

大問3は関数の問題でした。といっても「これは関数の問題だな!」といきなり意識できる人はそれほど多くないと思います。関数という意識があろうとなかろうと、問題を読みながら「グラフを利用して考える」問題だという認識が持てるようになることが第一歩です(図3にもグラフが出てきます!)。

この問題も大問2と同様に設定がかなり面倒になっているため、一度情報を整理しながら書き出してみると良いでしょう。それと同時に、グラフを作ることも意識して分かることをどんどんまとめていきましょう。

まずは、2つの水槽A、Bについての情報を整理しておきます。

毎分の給水量毎分の排水量
A3L1L
B5L3L

どちらの水槽も水の量が3Lになると給水が開始し、15Lになると給水がストップします。一方、排水口はずっと開いたまま(ここが大事です)と考えます。そのため、実際の給水量はAもBもともに毎分2Lとなります。これは給水量から排水量を引いて求められます。

次に最初の水の量はA、Bどちらも15Lであることを確認してください。

まず、図3でグラフが与えられている水槽Aについて整理しましょう。下の図の赤いグラフに当たります。この赤いグラフを描くために必要なことを考えます。

塾長
「グラフが与えられているから考えなくてもいいじゃん」なんて言っている人は、そのうち壁にぶち当たることになりますよ〜。面倒でも一度確認してみることが大切です!
  1. 最初の状態から水の量が3Lになるまでは排水のみ
  2. このとき、$15-3=12$(L)の水が排水される
  3. 毎分1L排水するので、12L排水するまでにかかる時間は12分

したがって、まずは $(0,\ 15)$ から $(12,\ 3)$ へ直線が引けます(厳密には線分ですが、ここでは直線と表記します)。一定の割合での変化なので1次関数です!

次に、ここから給水がスタートします。

  1. 毎分2Lずつ水槽の水が増える
  2. 15Lになるまでに12Lの水を給水する
  3. 12L給水するには $12\div 2=6$(分)かかる

したがって、今度は $(12,\ 3)$ から $(18,\ 15)$ へ直線が引けます。

次に最初の状態に戻るので同じ操作を繰り返していくことになります。このとき、最初と同じように考えてグラフを描いてもいいですが、同じ操作の繰り返しになるということは、グラフも同じ形を繰り返すということです。

したがって、$(18,\ 15)$ の点をリセットして $(0,\ 15)$ と見なし最初に引いた直線と同じものを引けばよいということになります。あるいは平行移動してつなぎ合わせると考えても良いでしょう。いずれにしても、ここはラクをして考えたいところです。

結局、グラフは $(30,\ 3)$ で綺麗に終わります。これで、赤いグラフが完成しました。

次に水槽Bについて考えていきましょう。同じように考えれば問題なくできるはずです。

  1. 最初の状態から水の量が3Lになるまでは排水のみ
  2. このとき、$15-3=12$(L)の水が排水される
  3. 毎分3L排水するので、12L排水するまでにかかる時間は4分

したがって、まずは $(0,\ 15)$ から $(4,\ 3)$ へ直線が引けます。

次に、ここから給水がスタートします。

  1. 毎分2Lずつ水槽の水が増える
  2. 15Lになるまでに12Lの水を給水する
  3. 12L給水するには $12\div 2=6$(分)かかる

したがって、今度は $(4,\ 3)$ から $(10,\ 15)$ へ直線が引けます。

そして、ここからは同じ操作を繰り返していくことになるので、グラフも同じ形を繰り返していきます。

最終的には上のようなグラフが描ければこの問題の大部分は出来てしまったも同然です。

塾長
中には「とっとと(1)をやれよ!」と思う人もいるかもしれません。実際に、問題を解くだけならば上で考えたようなことを全てやる必要はありません。しかし、ときにこうした回り道をすることも数学の勉強では欠かせないのです。むしろ、中学生のみなさんにはこうした回り道を積極的にしてみてもらいたいとさえ思います。効率よく解く方法ばかりを追い求めていては決して覗くことのできない面白さに気づけるかもしれません。

(1)について

(1)は7分後の水槽Aの水の量です。

ここでは解説のように計算で求めるのが手っ取り早いですが、せっかくなので直線の方程式を求めてみましょう。

ここでは、2点 $(0,\ 15)$、 $(12,\ 3)$ を通る直線を求めればいいですね。

この直線の方程式を求める際にも「解き方」にとらわれて面倒なことをやる人が多いです。

$y=ax+b$ とおいて、$(0,\ 15)$ と $(12,\ 3)$ を代入して

$$\begin{cases}15=b\\3=12a+b\end{cases}$$

みたいなことをする生徒がたくさんいます。

そんなことをしなくても、

塾長
$x$ が $12$ 増える間に $y$ が $12$ 減るから傾き $-1$ だな。
しかも $(0,\ 15)$ を通るし $y=-x+15$ だな!

という感じで暗算で求めて欲しいなあと思います。

さて、直線の方程式は $y=-x+15$ だとわかったので、$x=7$ のときは $y=8$ がすぐ求まりますね!

(2)について

(2)もAについてなので赤い方のグラフを考えていきます。

求めるのは、18分後から30分後までにおける、$x$ と $y$ の関係を表す式です。つまり、これも $(18,\ 15)$ と $(30,\ 3)$ の2点を通る直線の方程式を求めるだけです。

先ほどと同じように求めてもいいのですが「グラフが同じ形を繰り返している」というところがポイントです。

まったく同じグラフではありませんが、平行移動したグラフであるため変化の割合は変わらないということに気付いて欲しいわけです(納得できない人は実際に求めてみてください!)。

こうすると、もう傾きが $-1$ というのは分かっているわけで、直線の方程式は $y=-x+q$ のようになります。あとは、これが $(30,\ 3)$ と通るので、$3=-30+q$ となり、$q=33$ が得られます。

結局、求める直線の方程式は $y=-x+33$ となります。

塾長
大切なことは、式が求められるかどうかではなく、同じ形をしたグラフにおいて共通するものは何か・異なるものは何かということを考えてみることです。

(3)について

(3)は結構面倒な問題ですが、最初にグラフをきちんと考察しておくと難しいことを考えなくても「見える」状態になっています。

10分たった時点から、A、Bの水の量が等しくなるのは、12分から14分の間であることが目で確認できます。

あとはこれを計算で求めていけばいいわけです。

これは交わる2つの直線の方程式を求めることから始めます。変化の割合からできる限り暗算で求めてみてください。

黒い方の直線は、$(10,\ 15)$、$(14,\ 3)$ を通る直線で $y=-3x+45$ となります。

赤い方の直線は、$(12,\ 3)$、$(18,\ 15)$ を通る直線で $y=2x-21$ となります。

この2直線の交点は、連立方程式

$$\begin{cases}y=-3x+45\\y=2x-21\end{cases}$$

の解と一致します。これを解くと、$\displaystyle x=\frac{66}{5}$が得られます。

これは、$\displaystyle \frac{792}{60}=\frac{13\times 60+12}{60}$ なので13分12秒後となります。

塾長
一気に片付けようとするととても面倒な問題ですが、最初に言ったように「グラフを描いてみよう」というところから1つ1つやっていけば、そこまで大変な問題ではありません。面倒な問題が出てきた場合には、1つ1つ部分的に解決していくことが大切です。
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