【石川県総合模試】2019 第4回石川県総合模試の数学を解いてみた【大問7】

塾長
というわけで、第4回石川県総合模試の解いてみたシリーズは今日で完結です。昨年よりも問題の質が上がっており、なかなか楽しめました(笑)中3生は11月に統一テストもあるので、次回はそのあたりの話も含めて記事をまとめられたらと思っています。

第4回石川県総合模試(数学)

前回までの記事

関連記事

塾長秋も深まってきました。寒暖の差も激しくなっているので体調には十分気をつけましょう! 受験生は焦りが出てくる時期かもしれませんが、一歩一歩確実に進むことを意識して下さい。いきなり劇的に点数アップ!を期待する気持ちも分かりま[…]

関連記事

塾長前回は全体のことについて大まかな話をしたので、今回からは1つずつ大問を取り上げて見ていきましょう。今回は小問集合の大問1です!大した問題は出ないからと侮ってはいけませんよ!第4回石川県総合模試(数学)前回まで[…]

関連記事

塾長石川県総合模試の記事を書くとアクセスが跳ね上がりますね。通常の3倍のアクセス数・・・赤い彗星・・・。これはもう、「お前は模試の解説だけ書いておけば十分」ということですかね? うう、悲しい。できれば他の記事も読んでもらいた[…]

関連記事

塾長今回の模試の問題の中でも復習しておきたい問題No.1が大問3の関数の問題です。問題の設定がかなり面倒になっていますが、グラフをうまく利用して問題を視覚的に捉えていく練習をしておきましょう。こうしたタイプの問題は入試でも頻[…]

関連記事

塾長石川県総合模試の記事を書くと本当にレスポンスが良いですね(笑)質問などのメッセージをくださったみなさん、ありがとうございます。1つ1つきちんと返答したいので時間がかかるかもしれませんが、一応全部のメッセージに目を通し[…]

関連記事

塾長朝晩の冷え込みが厳しくなってきました!気づけばもう10月も終わりですね。勉強するには良い感じの気候になってきましたが、受験生の皆さんは順調でしょうか?第4回石川県総合模試(数学)前回までの記事[sitec[…]

関連記事

塾長今日は平面図形の問題を考えていきましょう。中3生の図形については相似・円周角・三平方の定理あたりが残っていますが、どちらかといえば中学2年生の内容の方が大切かもしれません。図形分野に不安のある人は、今のうちに中学2年生の[…]

大問7

内容 空間図形

難易度 標準

大問7のシメの問題はいつも通りの空間図形です。

空間図形というだけで「捨て問」扱いをして解かない人もいるようですが、見た目ほど難しくない問題も多いので積極的に挑戦してみて欲しいなあと思います。

塾長
そもそも「捨て問」という言葉が好きではない塾長です。そんなこと言っている時点でやってることが単なる「試験対策」になってしまっていて、数学の勉強ではなくなっています。そういう人が実力をつけていくのは難しいと思われます。試験の対策も必要ですが、まだ本番まで時間があるので、しっかりと数学の力を磨いて欲しいなと思います。
空間図形については立体を切断する問題が多く出題され、切断した場合に切り口がどういう図形になるか、あるいは切り取られた図形がどのような図形になるかを考えなければなりません。
この切断が苦手だという人がかなり多いように思います。
断面の捉え方には一定の方法があったりするのですが、そうした解法的なものに頼るのではなく、実際に立体をいじってみるような「実感」の方がはるかに重要であると考えます。「豆腐を切れ!」なんて原始的なアドバイスをする人が多いのもそのためだと思います(笑)
いずれにしても、頭の中だけであれこれと組み立てるのが大変だと感じる人は、実際に立体を用いて(粘土などが良いです)考えてみることをオススメします。

(1)について

(1)はある辺と平行な辺を考える問題です。こういう問題では、定義を正確に押さえているかどうかが鍵となります。
空間内では、同一平面上にあって交わらない2直線を平行といいます。
まずは、ADを含む平面を考えていきましょう。
ADを含む平面は、ADCB、ADGF、ADHEの3つがあります。
この3つの平面内でADと交わらない直線が求めるものです。
これは、図からすぐにBC、EH、FGが分かるでしょう。

(2)について

(2)は表面積の問題です。面倒臭そうだなと思った人もいるかもしれませんが案外簡単です。
三角柱ADE-BCFの表面積は
  • 3つの四角形ABCD、ABFE、DCFE
  • 2つの三角形ADE、BCF
という5つの面で構成されています。このうち、三角形ADE、BCFは合同で2つを足すと四角形ADHEと同じ面積となります。
$\mathrm{AB=5cm}$、$\mathrm{AD=3cm}$、$\mathrm{AE=4cm}$、$\mathrm{DE=DC}$ であることを考えて
\begin{align*}
\mathrm{ABCD}&=5\times 3=15\\
\mathrm{ABFE}&=5\times 4=20\\
\mathrm{DCFE}&=5\times 5=25\\
\mathrm{ADHE}&=3\times 4=12
\end{align*}
したがって、$\mathrm{15+20+25+12=72\ (cm^2)}$ となります。

(3)について

(3)は体積の情報から辺GPの長さを考える問題です。
ここでは、四角錐A-CDEFの体積が三角錐C-FGPの体積の $\displaystyle \frac{8}{3}$ 倍という情報が与えられます。
これを考えるためには、いずれかの立体の体積が分かれば簡単です。
しかも、求めるGPは三角錐C-FGPに含まれているので、ここは四角錐A-CDEFの体積が求められないかと考えていくと良いでしょう。
四角錐A-CDEFについては底面であるCDEFの面積は分かりますが高さが不明です。
この高さは、大問6でも出てきたように面積を経由することで求めることが可能です。
このとき重要なのは、CDEFを底面と見たときにAからEDに下ろした垂線の長さが高さとなるということを見抜くことです。
このときの垂線の足をHとして、AHを求めれば良いという認識を持ってください。
次に、$\triangle \mathrm{ADE}$ に着目します。この $\triangle \mathrm{ADE}$ の面積は6となることは(2)から分かります。
また、DEの長さは5ですから、
$$\frac{1}{2}\times 5\times \mathrm{AH}=6$$
が成り立ち、$\displaystyle\mathrm{AH}=\frac{12}{5}$ となります。
これで四角錐A-CDEFの面積は
$$\frac{1}{3}\times \frac{12}{5}\times 25=20$$
となります。さらに三角錐C-FGPの面積は、Pを頂点と見てCFGを底辺と見れば
$$\frac{1}{3}\times \mathrm{PG}\times 6$$
と表されます。よって
$$\frac{1}{3}\times \mathrm{PG}\times 6\times \frac{8}{3}=20$$
これを解けば、$\displaystyle \mathrm{PG}=\frac{15}{4}$ が得られます。
塾長
と、こんな感じで説明すれば「なるほど〜」と思う人も多いでしょう。問題はそれと同じことを自力でできるかどうかということです。何もしなければ次回も同じようなことになるでしょうし、闇雲に問題演習をしても無駄でしょう。大切なことは「自分に欠けているものが何か」ということを考えることです(その答えはどこにも書かれていません)。その何かを意識しながら問題演習をすることが必要です。こういうのは1人ではなかなか難しいことなので、きちんとした指導者について指導を受ける方が手っ取り早いでしょう。問題はその指導者が・・・ゲフンゲフン!!おっと誰か来たようで・・・
最新情報をチェックしよう!
>ちゃんとした数学の授業を受けていますか?

ちゃんとした数学の授業を受けていますか?

体験授業は随時実施しております。
学習相談なども受け付けております。
お気軽にお問い合わせください。

CTR IMG
error: Content is protected !!