【石川県総合模試】2019 第4回石川県総合模試の数学を解いてみた【大問7】

塾長
というわけで、第4回石川県総合模試の解いてみたシリーズは今日で完結です。昨年よりも問題の質が上がっており、なかなか楽しめました(笑)中3生は11月に統一テストもあるので、次回はそのあたりの話も含めて記事をまとめられたらと思っています。

第4回石川県総合模試(数学)

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大問7

内容 空間図形

難易度 標準

大問7のシメの問題はいつも通りの空間図形です。

空間図形というだけで「捨て問」扱いをして解かない人もいるようですが、見た目ほど難しくない問題も多いので積極的に挑戦してみて欲しいなあと思います。

塾長
そもそも「捨て問」という言葉が好きではない塾長です。そんなこと言っている時点でやってることが単なる「試験対策」になってしまっていて、数学の勉強ではなくなっています。そういう人が実力をつけていくのは難しいと思われます。試験の対策も必要ですが、まだ本番まで時間があるので、しっかりと数学の力を磨いて欲しいなと思います。
空間図形については立体を切断する問題が多く出題され、切断した場合に切り口がどういう図形になるか、あるいは切り取られた図形がどのような図形になるかを考えなければなりません。
この切断が苦手だという人がかなり多いように思います。
断面の捉え方には一定の方法があったりするのですが、そうした解法的なものに頼るのではなく、実際に立体をいじってみるような「実感」の方がはるかに重要であると考えます。「豆腐を切れ!」なんて原始的なアドバイスをする人が多いのもそのためだと思います(笑)
いずれにしても、頭の中だけであれこれと組み立てるのが大変だと感じる人は、実際に立体を用いて(粘土などが良いです)考えてみることをオススメします。

(1)について

(1)はある辺と平行な辺を考える問題です。こういう問題では、定義を正確に押さえているかどうかが鍵となります。
空間内では、同一平面上にあって交わらない2直線を平行といいます。
まずは、ADを含む平面を考えていきましょう。
ADを含む平面は、ADCB、ADGF、ADHEの3つがあります。
この3つの平面内でADと交わらない直線が求めるものです。
これは、図からすぐにBC、EH、FGが分かるでしょう。

(2)について

(2)は表面積の問題です。面倒臭そうだなと思った人もいるかもしれませんが案外簡単です。
三角柱ADE-BCFの表面積は
  • 3つの四角形ABCD、ABFE、DCFE
  • 2つの三角形ADE、BCF
という5つの面で構成されています。このうち、三角形ADE、BCFは合同で2つを足すと四角形ADHEと同じ面積となります。
$\mathrm{AB=5cm}$、$\mathrm{AD=3cm}$、$\mathrm{AE=4cm}$、$\mathrm{DE=DC}$ であることを考えて
\begin{align*}
\mathrm{ABCD}&=5\times 3=15\\
\mathrm{ABFE}&=5\times 4=20\\
\mathrm{DCFE}&=5\times 5=25\\
\mathrm{ADHE}&=3\times 4=12
\end{align*}
したがって、$\mathrm{15+20+25+12=72\ (cm^2)}$ となります。

(3)について

(3)は体積の情報から辺GPの長さを考える問題です。
ここでは、四角錐A-CDEFの体積が三角錐C-FGPの体積の $\displaystyle \frac{8}{3}$ 倍という情報が与えられます。
これを考えるためには、いずれかの立体の体積が分かれば簡単です。
しかも、求めるGPは三角錐C-FGPに含まれているので、ここは四角錐A-CDEFの体積が求められないかと考えていくと良いでしょう。
四角錐A-CDEFについては底面であるCDEFの面積は分かりますが高さが不明です。
この高さは、大問6でも出てきたように面積を経由することで求めることが可能です。
このとき重要なのは、CDEFを底面と見たときにAからEDに下ろした垂線の長さが高さとなるということを見抜くことです。
このときの垂線の足をHとして、AHを求めれば良いという認識を持ってください。
次に、$\triangle \mathrm{ADE}$ に着目します。この $\triangle \mathrm{ADE}$ の面積は6となることは(2)から分かります。
また、DEの長さは5ですから、
$$\frac{1}{2}\times 5\times \mathrm{AH}=6$$
が成り立ち、$\displaystyle\mathrm{AH}=\frac{12}{5}$ となります。
これで四角錐A-CDEFの面積は
$$\frac{1}{3}\times \frac{12}{5}\times 25=20$$
となります。さらに三角錐C-FGPの面積は、Pを頂点と見てCFGを底辺と見れば
$$\frac{1}{3}\times \mathrm{PG}\times 6$$
と表されます。よって
$$\frac{1}{3}\times \mathrm{PG}\times 6\times \frac{8}{3}=20$$
これを解けば、$\displaystyle \mathrm{PG}=\frac{15}{4}$ が得られます。
塾長
と、こんな感じで説明すれば「なるほど〜」と思う人も多いでしょう。問題はそれと同じことを自力でできるかどうかということです。何もしなければ次回も同じようなことになるでしょうし、闇雲に問題演習をしても無駄でしょう。大切なことは「自分に欠けているものが何か」ということを考えることです(その答えはどこにも書かれていません)。その何かを意識しながら問題演習をすることが必要です。こういうのは1人ではなかなか難しいことなので、きちんとした指導者について指導を受ける方が手っ取り早いでしょう。問題はその指導者が・・・ゲフンゲフン!!おっと誰か来たようで・・・
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