どの問題集にでも載っていそうな問題です。
この問題の模範解答が次のようなものでした（細かな計算はよく覚えていません）。
$x-3\geqq 0$ すなわち $x\geqq 3$ のとき $f(x)=x-3$
$x-3\leqq 0$ すなわち $x\leqq 3$ のとき $f(x)=-x+3$
したがって、
\begin{align*}
&\int_1^5 |x-3|dx\\
=&\int_1^3(-x+3)dx+\int_3^5(x-3)dx\\
=&\left[-\frac{1}{2}x^2+3x\right]_1^3+\left[\frac{1}{2}x^2-3x\right]_3^5\\
=&-\frac{1}{2}(9-1)+3(3-1)+\frac{1}{2}(25-9)-3(5-3)\\
=&4
\end{align*}
別に間違っているわけではないですし、基本を確認するという意味でも、この計算はきちんとできて欲しいところです。
ただし、積分と面積の関係が分かっているのであれば、上のような面倒な計算をすることなく暗算で4と答えて欲しいところです。おそらく、この問題も上のような面倒な計算をやらせるのが目的ではないと思うのです。
しかし、生徒がこの問題（定期テストです）を計算をせずに図を用いて解いたら0点だったことがありまして・・・
上の積分が表しているのは、図の色付きの部分の面積と同じなわけです。これは1辺が2の正方形の面積になるので $2\times 2=4$ で十分だと思うのですが、なぜか0点！ これには若かりし塾長も爆発しました（笑）
積分の計算過程（んなものどんな経路だっていいんですけど）を見たいのであれば、そういう問題を用意すればいいだけの話です。明確な間違いがあるのであれば0点でも納得がいくのですが、「こんな方法は教えていない」という理由で0点になるのは本当に意味が分かりません。もちろん、何も理解せずに「やり方」だけを用いて解いているのであればバツでもいいんです。これくらいなら、ちょっと本人に聞いてみれば理解しているかどうか確認できます。それだけに「なんだかなあ」という気持ちにさせられるわけです。
私も末端とはいえ数学教育に関係する身として、とにかく「間違った数学観」を植え付けないように常に注意しています。
教えてないからダメという話に限らず、「入試で〜を使うとダメ」（ロピタルの定理が有名ですね）という都市伝説であったり、「とにかく解答欄をデタラメでもいいから埋めておけ」なんていうメチャクチャな指示がなされたり、数学と関係ないところで妙な話がたくさん生まれています。テストの点数や偏差値、学年順位だの合格実績だの、そうした見栄えばかりで中身がまったく伴っていないという事例が非常に多いのです。正直、こういう教育をやってる限りこの国に未来はないなあと思います。
あ、なんだか暗い話になってしまいましたが、そうではなく、冬期講習は頑張るぞ！という話のつもりだったんです（笑）
とにかく、うちの塾にしかできないことをもっともっと追求していきたいなあと最近は思っています。