塾長
今日はモリモリと記事を書いていますが、決して暇なわけではありません(笑) 先程も卒業生のパソコンの設定をちょっとお手伝いしておりました。動画の準備もあったりなんだりかんだり忙しいですぞ!!

さて、それでは昨日の問題の解答をあげておきます。きっちりと解き切れたでしょうか?

それでは解答のほうを見てみましょう!

\begin{align*}
\begin{cases}ax<3a(a-3)&\cdots(1)\\(a-3)x\geqq a(a-3)&\cdots(2)\end{cases}
\end{align*}
とおく.
  1. $a<0$ のとき
    (1)より,$x>3(a-3)$
    (2)より,$x\leqq a$
    ゆえに,$3(a-3)<x\leqq a$ であり,
    $3(a-3)=a-3$ より $a=3$(不適当)
  2. $a=0$ のとき
    (1)は成り立たないから不適当.
  3. $0<a<3$ のとき
    (1)より,$x<3(a-3)$
    (2)より,$x\leqq a$
    ゆえに,$x<3(a-3)$ であり,
    これを満たす $x$ は無数に存在するため不適当.
  4. $a=3$ のとき
    (1)より,$x<0$
    (2)は任意の実数 $x$ について成り立つ.
    ゆえに $x<0$ であり,これを満たす $x$ は無数に存在するから不適当.
  5. $0<a$ のとき
    (1)より,$x<3(a-3)$
    (2)より,$x\geqq a$
    ゆえに,(1),(2)を満たす実数 $x$ が存在するとき $\displaystyle a>\frac{9}{2}$
    であり $a\leqq x<3(a-3)$ であるから
    \begin{align*}
    &a+3=3(a-3)\\
    &\therefore a=6
    \end{align*}
以上より,$a=6$

 

連立不等式の基本は、それぞれの不等式の解の範囲を求めて共通範囲をとるというものです。(1)、(2)を $x$ について解くわけですが、この問題では文字係数の不等式であるため、文字の正負による場合分けが必要となりますね。(1)の不等式では $x$ の係数 $a$ についての場合分け、(2)の不等式では $x$ の係数 $(a-3)$ についての場合分けが必要となります。つまり

$a<0$,$a=0$,$0<a$ および $a-3<0$,$a-3=0$,$0<a-3$

となります。これらを合わせると、結局

$a<0$,$a=0$,$0<a<3$,$a=3$,$3<a$

の場合に分けて考察する必要が出てきます。ここがクリアできれば、あとは不等号の向きに気をつけながら解いていけばOKです。

でも、現実には高校生が躓くポイントは、$x$ についての連立不等式を解いた後にもうひとつ存在します。それが、整数解の個数が3個になるという条件の扱いの部分です。過去に添削を実施したときも、最初の場合分けの $a<0$ のときの部分に出てくる「$3(a-3)=a-3$ より」のところが分からないという生徒が結構いました。

これは、不等式を解いて $3(a-3)<x\leqq a$($a$は整数)という解が確定したら、一度、この解の詳細は忘れて、この範囲に整数が3つ存在するという条件の方を考えていきます。この場合は数直線で視覚的に確認をしておくといいでしょう。まず、大まかに解を $○<x\leqq □$(両端は整数値)という不等式と考えて範囲を図示してみましょう。

$a$ は整数であり、解の右側の不等式から $x\leqq a$ となるので、まず $a$ が整数解の1つとなります(範囲の右端に確定します)。そこから1ずつ小さい整数を $a-1$、$a-2$、$a-3$、…と考えていくと、整数解は3つなので $a-2$ までが解の区間内に入れば OKだと分かります。このとき $○<x\leqq □$ の○が $a-3$ と一致すればよいということが分かるのです。

ここで、実際の解の範囲に戻って考えると、$3(a-3)<x\leqq a$ であったので、これといま求めた $a-3<x\leqq a$ が一致すればよいことが分かります。つまり、$3(a-3)=a-3$ となる $a$ を求めればよいわけです。これが解答「$3(a-3)=a-3$ より」の意味です。

この部分が理解できない生徒がとても多いのですが、これを乗り越えるためには、具体的な値をいろいろとやってみながら「どういう場合がOKでどういう場合がNGか」ということを実感することです。何か機械的な計算によって解が得られるようなことはないのです。

塾長
このくらいのレベルがサクッと解けないのに「最低でも金沢大学は・・・」はやめてほしいんです(笑)
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