塾長
休校措置が5月いっぱいまで延期となりました。結局具体的な対策はないままなので、このままズルズルと延期につぐ延期になっていきそうです。9月からの新学期の話も出ていますが、そう簡単にはいかないのではないかと思います。まあ、我々がどう足掻いたところでコロナウイルスが収束してくれるわけでもないので、現状でやれることを日々こなしていく以外の方法はありません。先が見えない状況は辛いですが出来る限りのことをやっていきましょう!

というわけで、前回の挑戦状の解答です。

 

$f(y)=x^2+xy+y^2$ とおく.

(1) $y$ の2次方程式 $f(y)=1$ すなわち,$y^2+xy+x^2-1=0$ が実数解をもつ条件を求める.

$x^2-4(x^2-1)\geqq 0$より
\begin{align*}
-\frac{2\sqrt{3}}{3}\leqq x\leqq \frac{2\sqrt{3}}{3}
\end{align*}

(2) $y$ の2次関数
\begin{align*}
z=f(y)-1&=y^2+xy+x^2-1\\
&=\left(y+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x^2-1
\end{align*}
のグラフが $y$ 軸の正の部分と共有点を持たない条件を求める.

(i) $x\geqq 0$ のとき,$f(0)-1\geqq 0$ より
\begin{align*}
x\leqq -1,\ 1\leqq x
\end{align*}
ゆえに,$1\leqq x$

(ii) $x<0$ のとき,$\displaystyle f\left(-\frac{x}{2}\right)-1>0$ より
\begin{align*}
x<-\frac{2\sqrt{3}}{3},\ \frac{2\sqrt{3}}{3}<x
\end{align*}
ゆえに,$\displaystyle x<-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

(i),(ii)より $\displaystyle x<-\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$1\leqq x$

(3) $y$ の2次不等式
\begin{align*}
f(y)-(x+y)>0
\end{align*}
すなわち
\begin{align*}
y^2-(x-1)y+x^2-x>0
\end{align*}
がすべての実数 $y$ に対して成り立つ条件を求める.
\begin{align*}
(x-1)^2-4(x^2-x)<0
\end{align*}
より
\begin{align*}
x<-\frac{1}{3},\ 1<x
\end{align*}

 

2変数の扱いの基本は「1つずつやりましょうよ!」です。片方をとりあえずは定数と見ておいて他方を処理し、終わったらもう一方を動かしてみましょう、ということです。2つのことを同時進行で考えるのは何かと難しいのです。ええ、本当に。

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