2020第2回石川県総合模試の数学を解いてみた

塾長
8月末に第2回石川県総合模試が実施されました。今回もコロナの影響で、自宅受験または塾での受験ということになりました。大規模な会場での実施は今後も難しいかもしれませんね・・・

2020第2回石川県総合模試(数学)

模試を受験したみなさん、第2回石川県総合模試の手応えはいかがだったでしょうか。夏休みに頑張った結果が出た!という人もいれば、勉強したけど前より悪くなったかも…なんていう人もいるかもしれません。

勉強の成果は、すぐに現れることもあれば、時間をかけて現れることもあります。また、理解が深まる過程で「間違いが増える」こともよくある話です。右肩上がりで成績が伸びることの方が珍しいので、1回成績が悪かったくらいで「頑張ってもダメだ」と決めつけないようにしましょうね! 入試まではまだまだ時間があるので、テストを受けたらしっかりと自己分析をやって、理解が曖昧な部分を1つ1つ潰していきましょう。

というわけで、今回も「解いてみた」シリーズをやります。ご質問やご相談などがあればメッセージを送ってください。可能な限り返信していこうと思います。なお、夏期講習で疲労困憊のため解説にムラがあったりしますがご容赦ください(笑)

概観

第1回の総合模試とまったく同じ、大問数7、小問数23というテンプレセットでした。

毎回同じことを言っていますが、時間的にはかなり厳しいセットとなります。時間内に全部解き切れなかったとしても不安になる必要はありません。きちんとした理解ができている人は時間内に完答が可能かもしれませんが、その逆は成り立ちません。つまり、完答できるからといって数学が正しく理解できているとは限らないということです。

ここは少し怖い部分で、毎年、点数を上げるためにスピードアップを狙い、すぐに答えが求まる変な公式(裏技)をふりかざす生徒が少なからず現れます。点数が取れれば何でもいいという人はそれで構いませんが、ちゃんと数学を理解したいという人は、そういうおかしな方向に進まないように注意してくださいね。ちなみに、高校で数学難民化する可能性が高いのは前者のタイプなのでご注意を!

出題内容については各分野からバランスよく出題されています。ただし、前半の関数と後半の平面図形・空間図形の問題はかなり重たい問題が出題されるため、この部分は重点的に強化しておきたいところです。1つ1つ問題は程よい難易度になっているので、きちんと理解できれば実力アップにつながります。テストを受け終わったらできた問題もできなかった問題もじっくりと復習するといいでしょう。

今回は易し目の問題が多かったので難易度も易としたいところですが、近年の中学生の数学力を考えると標準とした方が良さそうです。さすがに平均点が50点を下回ることはないと思いますが、時間的な部分も考慮するとやはり標準的な難易度に落ち着きそうな感じですね。これで平均が50点前後あたりになるとすると、数学力の低下がかなり進んでいるのではないかと考えられます。

全体的な難易度 標準

各問題の概要

ここからは大問ごとの内容を少し細かく見ていきます。面白い問題は解説をつけておくので参考にしてください。

大問1

内容 小問集合

難易度 

基本的な計算を中心とした小問集合です。計算で手間取ってしまうと、もっと大事な数学の力を伸ばすための障壁となることもあるので、できる限り練習をしてスラスラできるようにしておきましょう。計算ミスが多い人は、まず最初に「ミス」なのか「理解不足」なのかをよく考えて下さい。「計算ミスした〜」と言う人の中には、実は計算規則を理解していないという人がかなり多くいます。「計算ミス」という言葉でごまかなさいことが大切ですね!

(1)の問題については、そろそろ完璧になっておきたいですね。オの問題は符号の扱いと分子の扱いが分かっていない人が多いので、気をつけて欲しいです。$\displaystyle \frac{x+2y}{6}$ が $\displaystyle \frac{(x+2y)}{6}$ のように見えて欲しいなあと思います。または、$\displaystyle \left(\frac{x}{6}+\frac{2y}{6}\right)$ のように見えても楽しいかもしれません。いろいろな見方をできるようになっておきましょう。

それから、案外多いのがなぜか分母を払ってしまう人です。これは等式の場合の操作を、計算でも機械的にやってしまっている人の特徴です。分母を払うという操作がどういう場合に可能で、それは何を根拠にしているかということをきちんと理解していない人、いわゆる操作や解き方だけを覚えている人はこういうトンデモナイことを平気でやってしまうので要注意です!

(2)の問題は方程式なので、この場合は両辺を10倍して $2x-5=11+6x$ とすると、簡単に $x=-4$ が求まります。

(3)もほぼ知識問題です。平行なので傾きが等しくなることから、$y=4x+q$ のようにおけます。あとは、通過点の座標が $(2,\ 9)$ であることから、$9=4\times 2+q$ より、$q=1$ が得られます。ただ、このくらいの問題であれば、暗算で $y=4x+1$ と出せるようになっておきたいところです。

(4)はちょっと考える必要がありますね。こういう問題で焦ってしまうとダメですよ。対角線の交点を $\mathrm{E}$ とすると、$\triangle\mathrm{ABE}$が二等辺三角形になることから、$\mathrm{BE=4cm}$ となり、そこから $\mathrm{BD=8cm}$ が得られます。これは、角度を書き込みながら「二等辺三角形になりそうだな」という当たりがつけられるかどうかがポイントです。

(5)は資料の問題です。最頻値は数えればすぐに分かりますが、2です。

 

大問2(復習おすすめNo.2)

内容 確率

難易度 標準

データの分析などの高校数学の内容の一部が中学数学へ移行することになっていますが、統計関係の内容は今後、少しずつ増えていくことが予想されます。確率の扱いも現行課程より重視される可能性も否定できません。一方で、確率の問題は、結構いい加減な扱いをされていることが多く「何となく」で解いている人が多い分野でもあります。詳しい内容は高校数学で学ぶということもありますが、少なくとも、以下のようなざっくりした理解は中学生のうちに持っておきたいところです。

全パターンが $p$ 通りあり、あるパターンが $q$ 通りあるという場合に、あるパターンが起こる確率は$$\frac{q}{p}$$

きちんとした定義は高校数学で登場しますが、まずはこれくらいの感じで捉えておきましょう。本当は「同様に確からしい」なども、きちんと解説したいところですが、それは塾の授業でのみ解説します。

さて、(1)では、赤・白・黒のカードが2枚ずつ、合計6あるのですが、これを次のように決めます。

番号123456

6枚のカードにこんな感じで番号を振ります。本来は、赤いカードどうしは区別できませんが「区別できる」ものとして考えます。これは確率の定義において、区別して重複して数えても、それが分母でも分子でも発生し結局「約分」で消えてしまうからです。

2枚のカードを取り出すとき、その取り出し方は全部で

(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,4)(3,5)(3,6)
(4,5)(4,6)
(5,6)

の15通りになります。このうち、赤と黒が1枚ずつ取り出されるのは、太字の4通りになるので、求める確率は $\displaystyle \frac{4}{15}$ となります。

よくある間違い

カードを区別をせずに色だけに着目して解いた人もいるかもしれません。その場合には赤色をR、白色を白色をW、黒色をBとして

(R,R)(R,W)(R,B)
(W,W)(W,B)
(B,B)

と考え、$\displaystyle\frac{1}{6}$ のように考えてしまったのではないでしょうか。ここが確率の大きな落とし穴なんです。

実は、(R,R)のパターンは先ほどの区別した場合において(1,2)の1通りのみが該当します。

一方、(R,W)のパターンは(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)の4通りが該当します。

つまり、(R,R)と(R,W)は感覚的にも(R,W)がより起こりやすいことが分かるはずです。これが「同様に確からしい」という話の重要性なのですが、簡単に言えば「対等な条件でしか考えられない」ということなのです。確率では起こりやすさが違うものを対等に扱ってはいけないのです。この辺りは、ブログでは説明しきれないので、興味のある人は高校数学の教科書などを読んでみて下さい。

(2)では、少し設定が変わってくるので要注意です。Aさんは、赤・白・黒のカードが1枚ずつ入った箱Xから、Bさんは、同じく赤・白・黒のカードが1枚ずつ入った箱Yから1枚ずつ引きます。この場合は、(Aさんの色、Bさんの色)とすると、全部で

(R,R)(R,W)(R,B)
(W,R)(W,W)(W,B)
(B,R)(B,W)(B,B)

という9通りが考えられます。(もちろん(1)のように番号を割り当てて考えることもできますが、この設定の場合は、XとYに入っている時点で同じ色のものが区別されており条件も対等となるため、わざわざ番号を割り当てなくてもOKです。)このうち、同じ色になるのは3通りであり、Aさんが勝つ確率は $\displaystyle \frac{1}{3}$ となります。一方、異なる色の場合は6通りあるので、Bさんが勝つ確率は $\displaystyle \frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ となります。したがって、Bさんの方が有利であることがわかります。

大問3

内容 関数

難易度 標準

大問3は関数の問題でした。携帯の料金プランを題材とした流行りのタイプの問題です(私は好みではありませんが)。

この手の問題は与えられる情報量が多くなるため、1つ1つ整理しながら問題の設定を確認する必要があります。

まず、AとBに共通しているのは、月の利用料金が基本料金+通話料となるということです。

プラン基本料金通話料金
A3000円1分あたり30円。
B4000円60分まで無料。60分を超えると1分あたり40円。

と、こんな感じで表も与えられております。

(1)ではAプランで月の通話料が150分となるときです。基本料金+通話料金を忘れないように!

$$3000+150\times 30=7500$$

となるので7500円となります。

(2)はBプランで $x\geqq 60$ のときの話です。60分まで無料ということは、例えば100分通話したとしても、60分はなかったことになるので実際には40分しか話していないことになります。ということは、$x$ 分話したとしても、$x-60$ 分しか話していないことになります。したがって、

$$4000+40\times (x-60)=40x+1600$$

となります。

(3)は計算でも出せますが、せっかく問題用紙にBプランのグラフが書いてあるので、ここにAプランのグラフを書き込んでみると視覚的にも分かりやすくなります。Aプランは $y=30x+3000$ となるので

こんな感じのグラフになります。グラフから料金が等しくなる場合は2つあることが分かります。

まず、最初のところは $30x+3000=4000$ から、$\displaystyle x=\frac{100}{3}$ です。2回目のところは、$30x+3000=40x+1600$ から、$x=140$ となります。

計算だけでやろうとすると、2回あることに気づかない人も出てきます(とくに1回目を見落とす人が多いです)。グラフを利用して視覚的に考えるというのは、数学でも大切な能力です。

大問4

内容 方程式

難易度 

大問4は方程式の文章題でした。今回の方程式の問題は非常に易しかったのできちんと完答したい問題です。

黒いボールを $x$ 個として考えていきましょう。このとき、黒と白あわせて80個なので、白ボールは $80-x$ 個です。

最初に黒いボールはすべて箱Aに、白いボールはすべて箱Bに入っています。そして、黒いボールの $\displaystyle \frac{1}{3}$ を箱Aから箱Bに移します。また、箱Bからは白いボールの $\displaystyle \frac{3}{4}$ を箱Aに移します。このとき、箱B残っている白いボールは何個になるでしょうか? $\displaystyle \frac{3}{4}$ を箱Aに移したので、残っているのは白いボール全体の $\displaystyle \frac{1}{4}$ です。つまり、$\displaystyle \frac{1}{4}(80-x)$ が箱Bに残っています。

最初に移した、黒いボールの $\displaystyle \frac{1}{3}$ と 白いボールの $\displaystyle \frac{1}{4}$ が箱Bにあり、これが24個となるので

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}(80-x)=24$$

となり、これを解くと $x=48$ となります。また、$80-48=32$ より、黒いボールが48個、白いボールが32個となります。もちろん連立して考えてもいいですが、無駄に文字が増えるだけなので、この程度の問題であれば1文字で済ませたいところです。

大問5

内容 作図

難易度 

今回の作図も非常にシンプルかつ基本的な問題でした。これも確実に解いておきたいところです。

作図では毎回同じことを言っていますが、「等しい距離」というのが重要となります。これをもとにして、まずは基本的な角の二等分線と垂直二等分線を作図できるようになっておきましょう。今回は、まさにその2つをそのまま用いるだけの簡単な問題でした。さすがに解説も不要でしょう。

大問6(復習おすすめNo.1)

内容 平面図形

難易度 標準

今回の平面図形は正三角形をもとにした問題です。正多角形の問題では、対称性に気をつけながら問題を眺めて欲しいと思います。

(1)は角度の問題ですが、外角の性質から $\angle\mathrm{ADB}+19^\circ=60^\circ$ として、一瞬で $41^\circ$ と求められるようになっておきたいですね。

(2)は合同の証明です。$\triangle\mathrm{ADB}\equiv\triangle\mathrm{BEC}$ の証明ですが、これも5秒で方針が立てられるようになっておくべき問題です。$\mathrm{DB=EC}$ が仮定されており、また、 $\mathrm{AB=BC}$ もすぐに気づけるはずです。そうなると、その間の角 $\angle\mathrm{ABD}=\angle\mathrm{BCE}$ が言えればOKということになります。ここも $\triangle\mathrm{ABC}$ が正三角形であることを考えたら、すぐに $180^\circ-60^\circ =120^\circ$ の同じ角になることが分かります。

これで、$\mathrm{DB=EC}$、$\mathrm{AB=BC}$、$\angle\mathrm{ABD}=\angle\mathrm{BCE}$ から $\triangle\mathrm{ADB}\equiv\triangle\mathrm{BEC}$ となることが分かります。

(3)の面積と比が関係してくる問題では、高さの等しい三角形に着目していくといいでしょう。このとき、(2)の合同も利用できることを忘れないようにしましょう。

与えられた $\mathrm{DB:AB=2:3}$ から

$$\mathrm{DB:BC=EC:CA=2:3}$$

も分かります。ここで、$\triangle\mathrm{ADB}=12$ なので、高さの等しい $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積は底辺の比から求められます。すなわち、$\triangle\mathrm{ADB}:\triangle\mathrm{ABC}=2:3$ となります。したがって

$$\triangle\mathrm{ABC}=12\times \frac{3}{2}=18$$

となります。また、$\triangle\mathrm{BEC}\equiv \triangle\mathrm{ADB}$ なので

$$\triangle\mathrm{BEC}=12$$

となるのは明らかです。さらに、$\triangle\mathrm{BEC}$ と $\triangle\mathrm{BED}$ についても、$\mathrm{DB:BC=2:3}$ であることから、$\triangle\mathrm{BED}:\triangle\mathrm{BEC}=2:3$ すなわち

$$\triangle\mathrm{BED}=12\times \frac{2}{3}=8$$

となります。したがって、$\triangle\mathrm{ADE}$ の面積は

$$12+18+12+8=50$$

となります。

高校入試では、このように辺の比から面積比へとつながっていく問題は頻出なので、図形の眺め方を押さえておくといいでしょう。

大問7(復習おすすめNo.3)

内容 空間図形

難易度 標準

今回は空間図形の問題もかなり易し目の問題となっています。時間さえあれば、きちんと解けたという人も多いかもしれません。

(1)は単純にねじれの位置の問題です。ねじれの位置は、その2本の直線で1つの平面を作れるかどうかを考えてみるといいでしょう。どうやっても平面が「ねじれてしまう」場合には、その2本の直線はねじれの位置の関係にあります。

(2)はちゃんと条件をチェックしておかないと手詰まりになってしまう問題です。$\triangle\mathrm{APQ}$ の面積を求めるためにはどう考えるといいでしょうか。条件をチェックしていくと、$\mathrm{PQ=6}$、$\angle\mathrm{APQ}=90^\circ$ ということが分かります。ということは、$\mathrm{AP}$ の長ささえ分かってしまえば面積は求められます。(たまに $\angle\mathrm{APQ}=90^\circ$ が分からないという人がいますが、そういう人は粘土なんかで同じ図形を作って実際に切ってみて実感しておくといいですよ!)

このとき、$\mathrm{BP=BC}$、$\angle\mathrm{ABP}=\angle\mathrm{ABC}$ であることを考慮して

$$\triangle\mathrm{ABP}\equiv\triangle\mathrm{ABC}$$

となります。したがって、$\mathrm{AP=AC=10}$ であることが分かります。ゆえに、

$$\triangle\mathrm{APQ}=\frac{1}{2}\times 10\times 6=30$$

が得られます。

(3)はかなり面倒な問題です。求めるものは $\mathrm{A-EQP}$ の体積です。$\mathrm{A-EQP}$ の体積は底面である $\triangle\mathrm{EPQ}$ の面積が分かれば求まります。つまり、$\mathrm{P}$ がどういう位置にあるかが分かれば、$\mathrm{A-EQP}$ の体積が求まるということです。

では、与られた条件からどのように考えれば $\mathrm{P}$ の位置が分かるか考えてみましょう。

まずは、三角柱 $\mathrm{ABC-DEF}$ を2つの立体に分けるのですが、三角柱の体積自体は最初から計算できます。

$$\frac{1}{2}\times 6\times 8\times 8=192$$

です。このときPを含む「頂点Bを含む方の立体」を考えていきます。Bを含む立体とDを含む立体の比が $5:7$ なので、頂点Bを含む方の立体の体積は三角柱の $\displaystyle \frac{5}{5+7}$ となり

$$\frac{5}{12}\times 192=80$$

となります。このとき、Bを含む立体の底面を $\mathrm{BCQE}$(台形)と見て、$\mathrm{CQ=x}$ とすると

$$80=(x+8)\times 6\times \frac{1}{2}\times 8\times \frac{1}{3}$$

これを解くと $x=2$ が得られます。このとき、$\mathrm{PE}=8-2=6$ となるので、$\mathrm{A-EQP}$ の体積は

$$\frac{1}{2}\times 6\times 6\times 8\times \frac{1}{3}=48$$

となります。

まとめ

一つ一つの問題は、そこまで難しい問題はありませんでした。試験本番では時間が足りなかったという人も、きちんと復習をやっておきましょう。今回は、空間図形の問題がいつもよりも易しい問題だったので、苦手意識がある人はじっくりと時間をかけて考えてみて欲しいなあと思います。

2学期になると、2次関数や相似を学ぶことになります。そうなると、問題のレベルもぐっと高くなってくるので、今回、全体的に易しめだった問題の中で出来なかった部分を早急に復習しておきましょう。

 

なお、第1回の解説もこちらからご覧いただけます。

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