至誠塾の高校数学では、理解度の確認のために月例テストを実施しています。理解度の確認が目的なので基本的な問題を中心に出題していますが、相変わらず「基本=易しい」なんて考えている人もいて、ガックリしてしまいます。
「難しかった」という声の大半は、「理解したという思い込み」から生じていることをもう少し認識してほしいなあと思ったりもします。
そんな理解したという思い込みから発生するトンデモ答案が毎回1つ2つあるのですが、今回も当然のようにありました。
なんていう変形を当たり前のようにやってしまっています。根本的な原因は（ ）が分かっていないのですが、その前におそらく指数や対数の部分でも理解が曖昧であるために、こうした計算を疑問もなくやってしまうと思われます。
こういう場合に「あれ、これでいいんだっけ？」とちょっと疑問に思うのであれば、まだ大丈夫です。
もし、不安に感じたら簡単な具体例で確認してみれば済みます。
たとえば $(\log_22)^2$ と $\log_22^2$ の計算はどうなるでしょうか。
まず、対数の定義を確認しておきましょう。
$a^x=b$ なので、$b$ の部分をわざわざ計算せずに、そのまま $a^x$ で表せば、$x=\log_aa^x$ と書くこともできます。
よって、$\log_22^2=2$ であることが定義から分かります。$\log_22=1$ もすぐに分かるでしょう。
したがって、$(\log_22)^2=1^2=1$ であり、$\log_22^2=2$ となることから、$(\log_2x)^2\neq \log_2x^2$ だと確認できました。
ここまで律儀に考えなくてもいいのですが、確認する場合は、キッチリやっておきたいところです。
こうした事例はいわゆる進学校の生徒であってもチラホラ見受けられます。$a^x=b \Longleftrightarrow x=\log_ab$ などの定義をそのまま記号的に丸暗記してしまっているような生徒は、こういう間違いをしていることが多いので、見つけた場合はきちんと指導しなければなりません。
具体例を通して把握するということは、抽象化することと同じくらい大事なので、こうした「あれ、これでいいんだっけ」という不安を持ってもらえるような問題をたくさん用意しておきたいなと思っています。