というわけで、私は国公立2次試験対策としてやっている数学の答案添削をちまちまやる日々を送っている塾長です、ごきげんよう。
もちろん授業も並行してあるので、その準備もあったりと結構忙しい毎日を送っています。そんでもって、新年度の問い合わせの応対や事務処理のアレコレなどもあるため、この時期は何かと「やらかし」の多い時期となります。
マルチタスクが本当に苦手なのでメモなどは欠かせません。しかし、メモしたもの自体を無くしたりするので、付箋（ポストイット）が欠かせないのです。しかし、その付箋もペタペタ貼りまくるせいで「あれ、どこに貼ったっけ？」などということになってしまいます。いや〜困ったなあ。
こんな調子でポンコツを発揮している最中ですので、もし大切なことが抜けていた場合にはご連絡ください！
さて、そんなどうでも良い話は放っておいて、今日は添削の話でも。
私にとって生徒の答案をダイレクトに採点するというのはとても大切な仕事です。自分で採点をすることで、生徒が抱えている問題点がよく見えてきますし、授業だけでは確認しきれない部分や、生徒が何を考えてやったことなのかなど、あれこれと聞くことができます。これもひとつのコミュニケーションと言えます。そして、これが数学力をアップさせる場合にとても重要な役割を果たしているように思います。
私とあれこれ問題について話をする機会が多い生徒ほど、やはり成績も良いものです。当たり前っちゃ当たり前ですが。
数学において大事な部分というのは、案外教科書や試験の外側にあったりするので、そういう部分をよく確認することが不可欠です。そして、数学が苦手な生徒の場合は「ああ、やっぱりなあ」と思うことがほとんどなのです。私がよく言ってる、「手を動かす」「実験する」「観察する」などというのは、基本的なことのはずなのですが、まったくできていない生徒が非常に増えています。
そうした数学が苦手な生徒の答案は非常に特徴的で、どの問題集にも出てくるような典型的な問題はすらすら解いている一方、それよりもはるかに簡単な問題で出鱈目なことをやったり、白紙の答案だったりするのです。その頭の中では「知っている問題」か「知らない問題」かというセンサーが働いているようで、「知っている問題」であれば驚くほどスマートに答案を作ってくれます。一方で、「知らない問題」の場合には高確率でフリーズしてしまいます。挙げ句の果てには
なんて言ってくることもあります。
私にとっては、数学の問題は解き方が分からないのが普通であって、解き方が分かっている問題はもうやる必要がないため、最初のころはこうした生徒の発言に面食らいました。さすがに、こういう例を何度も目にするようになっていろいろと分かってきましたが（笑）
そういうことも踏まえて、先日、中3生にこんな問題を出してみました。興味がある人は是非やってみてください。できる人は3分あれば解けます。
この問題は、高校生でもできない生徒が案外たくさんいます。中学生でも「やったことがない」なんて投げ出してしまう生徒もいるのです。
ま、私であれば、$7$ を $2022$ 回掛け算してみるか〜となりますね（笑）
やはり通塾歴が長い生徒は、とりあえずいくつか書き出すということに慣れているため、下のような感じで計算をしてくれます。
| $7^n$ | $1$ の位の数 |
| $7^1$ | 7 |
| $7^2$ | 9 |
| $7^3$ | 3 |
| $7^4$ | 1 |
| $7^5$ | 7 |
| $7^6$ | 9 |
| $\cdots$ | $\cdots$ |
こうすると $1$ の位の数は周期を持っていることが見えてきます。 $7$、$9$、$3$、$1$ という4つの数を繰り返していくことが表からも読み取れます。
あとは、$7$ を $2022$ 回かけるあいだに、これらが何回出てくるかを考えればOKです。
$$2022=4\times 505+2$$
となるので、$7$、$9$、$3$、$1$ を $505$ 回繰り返して、さらに2つ進むことになります。2つ進むと $7$、$9$ となるため、求める $1$ の位の数は $9$ だということが分かりました。
実際に計算をしてみると（パソコンにやらせましたよ〜）
61409690535291855301563068425882690589082819957989072160955954440042265478848017185773132589216419809268834880933402490736170272703517613272725176473418910973861266572801997037011673765396208542820869223765453134801180873219124405496581097762685727558082696675651568619065129059107755271605754215420929740884872679625739234932550100588304002916599195919444474587324004670040740741345987406082435954362232703580172295911158836113090682960393530675659122478678380870016234428873850115688350238250118361993867222259079935706582102603112262895109165205059521170351230612597118052865432580488553332935117084774895433576495866718391185485209463732800155482680495777889173693178817397677346552981806537670154124747080436274599820612187702507371992412706389013433889470254920978178030123076984281013418258991240467361445594711338688244810946342649194745364351734277471254472010407351809985701893110462725117390337669024257717148467570026517920311886482469389733846311875489747654384618395783014307290338012139178791010749754457663114408470047441530140666807538525766593794781000690234155136693103922002169473565832213989779582805979014576328830169623615670668639703019002625400113262272949152051029786085126651870728248144428583309837331852170665666473200855382422123808210199601549296332479221667015287800638261938408272399127167883579398831651533642548998634877170813313711527706854906247460558453375847248287252795842331985947632609073529576560242667247259084964198880018467370145316135103909995730090929294881668015714834533451379226643719372757028351956683474634597711830410500282760232737438658349608312429826940479031816393126764461642889371056580777114312550512166012323458767004737558527982297969219681788049
と、とんでもない数になりますが、ちゃんと $1$ の位の数は $9$ となっています。
というわけで、単純にいくつか具体例をやってみて周期を発見できればほぼ解けるような問題です。こうした作業は、数学の問題に挑戦する場合には「当たり前」の行為だと思っていたのですが、実際にはこれができない人がとても多いのです。