塾長
今日は立春ということで、これから少しずつ春がやってくるはずなんです。冬が苦手な塾長は、ようやく春がやってくるのか〜!と週間天気予報を見たのですが、全然春の兆しなんてなくて絶望しています。立春って言っても、春がやってくるスタートラインみたいなもんなので、とても寒いらしんですけどね…(三点リーダー症候群)

さて、ここ最近はいろいろと問題を出して遊んでいますが、決して暇を持て余しているわけではありません(笑)

むしろ高3生の数学の添削をやったり、中3生の授業で扱う問題を考えながら、「こういうのが苦手なんだな」とか「このへん理解度が低そうだ」とか「こういうの要求されると困りそう」なんていう性格がどんどん悪くなりそうなことを考える日々です。

そんな中で、ちょっと確認してみてほしいようなことをブログでも取り上げているわけです。まあ、落とし穴的なものですね。

というわけで、今日も暇つぶしにいくつか問題をやってみましょう。中学生でも感覚的に理解できると思われます。

$2^{300}$ と $3^{200}$ ではどちらが大きいか。

この問題は、かなり前に高校生用のテストで使った問題です。

シンプルな問題なのでいろいろな考え方ができますが、思ったよりも出来ない生徒が多いのです。

一方で、この問題よりも明らかに難しい

$y=4^x+4^{-x}+6\cdot 2^x+6\cdot 2^{-x}+4$ について $y$ の最小値を求めよ。

みたいな問題は解けていたりするから困ります。

まあ、試験の問題に最適化されてしまうとこういうことが起こってしまいます。

予め問題特有の「解法」が用意されておりそれに沿って解いていけばできる、というタイプの問題には滅法強いわけです。

塾長
実際にお題で取り上げた問題は解けなくても、進学校で学年上位の成績をとることは可能です。こういう生徒を「数学ができる生徒」とするのは少し違うと思うのですが、一般的にはテストの点数が良ければいいという風潮があります。

さて、この問題では「解法」なんていうものはないため、どこからでも攻めていけるのですが、いきなり難しいことを考えようとする生徒が多いものです。あるいは、何の理由もなくテキトーなことをやってみる人もいます(実際にこの問題では「両辺を微分すると」とだけ書いてある答案もありました)。やらないよりもマシなのですが、何かをやるにしてもキッカケとか理由はきちんと考えてみたいものです。

というわけで、200乗とか300乗なんて数値が大きすぎてよく分からないので、ここでは小さい数値で実験してみましょう。

数学では、小さい値で実験するということが非常に重要となります。

高校入試の定番である「規則性」の問題でも、$n=2$ とか $n=3$ などの小さい数値での具体例を作る問題が含まれています。

では、$2^3$ と $3^2$ の大小はどうなるでしょうか。

これは、$2^3=8$ と $3^2=9$ とから $2^3<3^2$ となることが分かります。

さらに、$2^{300}=(2^3)^{100}$、$3^{200}=(3^2)^{100}$ なので

$$(2^3)^{100}<(3^2)^{100}\Longleftrightarrow 2^{300}<3^{200}$$

となることが分かります。

塾長
もちろん、指数について $0<a<b$ のとき $a^n<b^n$ であることもしっかり確認しておきましょう。
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