数字をつくってみようの答え

塾長
さあ、予想通りアクセスが激減しております笑。が、倍率の記事などは依然高いアクセス数となっております。何だかなあと思いつつも、あまり気にせず数学のことを書いていく所存です。

それでは、昨日の問題を振り返ってみましょう。

6桁の数字があります。7桁の数字のうちの1つを消して、この数字になるような7桁の数字は全部でいくつあるでしょうか。

簡単そうな問題だと思った人も多いと思いますが、考えてみると案外大変な問題なんです。というわけで、やってみましょう!

6桁の数字があります(どや!)と言っていますが、実際にはありませんので、ここは1つ具体的なものを与えてみましょう。

何でもいいので、とりあえず「130265」としてみます。

「7桁の数字のうちの1つを消して、この数字になる」と言っていますが、要するに、6桁の数130265に数字を1つ挿入して7桁の数を作るということです。そして、この7桁の数が全部で何個あるか?という話です。

というわけで、「130265」のどこかに(両端もOKです)数字を挿入して7桁の数を作っていきましょう。

まず、先頭の1の前に数字を入れる場合、0だけはダメ(7桁にならない)なので1〜9の9通りの数字を入れることができます。

そして、1と3の間・3と0の間・0と2の間・2と6の間・6と5の間・5の後にはそれぞれ0〜9の10通りの数字を入れることができます。

したがって、$10\times 7-1=69$ 個の7桁の数が得られます。

塾長
やった〜!正解だ!なんて思わないでくださいネ・・・

この69個の7桁の数の中には同じ数が含まれています。例えば、1と3の間に3を入れた「1330265」と3と0の間に3を入れた「1330265」は入れる場所は違うものの、出来上がった数字は同じになります。こういうのが全部でどれだけあるでしょうか?これは◯の前または後に同じ○を入れる場合を考えればいいですね。具体例で言えば、1の前後に1を入れた1130265、3の前後に3を入れた1330265、0の前後に0を入れた1300265、2の前後に2を入れた1302265、6の前後に6を入れた1302665、5の前後に5を入れた1302655の6通りが存在します。実際にはどんな数字かは分かりませんが、先に述べたように「◯の前または後に同じ○を入れる」パターンがどれだけあるかを数えればOKなので、1桁目の前後、2桁目の前後・・・6桁目の前後の6通りであることが把握できると思います。

というわけで、同じ数が6通りダブルカウントされているので、$69-6=63$ 個となります。

塾長
やった〜!今度こそ正解だ!なんて思わないでくださいネ・・・

これでもまだまだ検証が足りません。具体例で考えた6桁の数は、各位の数字がそれぞれ異なるものだったのですが、これが同じ数字が入ってくるとどうなるかを考えてみましょう。例えば、111011なんていう数を考えます。先程と同様に、111の両端と間の4箇所に1を挿入したものはすべて同じ7桁の数となります(4個とカウントしたものが結局1個と見なせます)。また、11の両端とその間の3箇所に1を挿入したものもすべて同じ7桁の数となります。さらに0の前後に0を挿入したものも同じ7桁の数となります。したがって、この場合は求める7桁の数は $69-3-2-1=63$ 個となります。先程の場合と同じになりますね。これ以外にも112311など、いろいろな具体例を考えてみましょう。結局、どのような数を選んだ場合であっても63個となることが確認できるはずです。結局、「◯の前または後に同じ○を入れる」という考え方が、ここでも生きていることがわかります。

したがって、$69-6=63$ 個が正解ということになります。

塾長
こんな問題が高校入試に出題されることはおそらくないでしょうが、出題されたらどうなるかな〜と想像してニヤニヤしています。典型問題の練習ばかりやっていると、頭が固くなってしまうので、たまにはこういう問題で柔くほぐしておきましょうね!
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