第2回石川県総合模試が8月29日（日）に実施されました。夏休みの勉強の成果はいかがだったでしょうか？
結果はすぐに出るとは限らないので、今回あまり上手くいかなかったという人も諦めずに頑張っていきましょう！
というわけで、今回も総合模試の数学について振り返ってみたいと思います。
概観
大問数7、小問数22のいつも通りの標準的なセットでした。
大問1以外は思考力を要求される問題が多いため「50分の試験時間では足りない！」という人が続出するのですが、今回は易しめの問題が多かったので、時間内にひと通り解けたという人が多かったのではないかと思います。平均点も比較的高くなりそうなので、ミスができない試験だったと言えるでしょう。後半の図形の問題の出来が得点を左右しそうです。
全体として、計算の過程を記述させる問題や証明などの説明を求められる問題が含まれており、単に答えを出すだけでは得点に結びつかない問題もあるため、日頃から答えを出すだけではなく、答えを求める過程を説明する（記述する）ように心がけておきましょう。
出題分野については、前半は方程式や関数などの代数の問題、後半が作図・平面・空間という幾何の問題で、バランスよく出題されています。難問・奇問の類はほとんどなく、入試標準レベルの良い問題が揃っています。復習を徹底すれば相応の実力アップが期待できるので、できればその日のうちに復習をやるのが理想です。少なくとも1週間以内には復習をやってしまいましょう。
全体的な難易度 やや易
各問題の概要
ここからは大問ごとの内容を細かく見ていきましょう。面白い問題や難しめの問題には解説をつけておくので、復習の際の参考にしてください。
大問1
内容 小問集合
難易度 易
この大問1は満点を狙っていきましょう。基本的な計算ができるかどうか、知識項目が正確に覚えられているかどうかがポイントとなります。大問1で得点できていない人は、まず教科書に戻って基本的な計算ルールや定義などをよく確認しておきましょう。
(1)の計算問題で計算ミスをしてしまう人が例年たくさんいます。計算ミスといっても、計算規則が曖昧である、途中式の転記ミス、単純な計算のミスなど、タイプはいろいろです。それぞれで対策は変わってくるので、計算ミスが多い人は、まず自分のミスの原因をよく考えてみましょう。
(2)については、答えは簡単に求まると思いますが、「方程式」「方程式の解」「方程式を解く」といった言葉の定義について、しつこく確認しておきたいですね。とくに中学生の場合、方程式を解く手順ばかりがクローズアップされて、理論的な部分がいい加減になってしまっているケースがよく見られます。
(3)は関数の定義域と値域の問題です。関数の問題で大切なことの1つに「変化を見る」ということがあります。こうした定義域や値域の問題においても、「式に値を代入する」という操作面ばかりが強調されてしまっていることがよくあります。グラフがかける場合には、まずグラフをかいて、それを見ながら考える習慣をつけておきましょう。
グラフをかけば上図のようになり、ここから $3\leqq y\leqq 7$ がすぐに求まります。
(4)は角度の問題でした。これも、「多角形の外角の和は $360^\circ$」ということを覚えておけば、$360-275=85$ と簡単に答えは求まります。しかし、それで終わりにしてしまうのではあまり意味がありません。せっかくなので次のような問題も考えてみるといいでしょう。
(5)は相対度数というものが何かを分かっていればOKです。度数を度数の合計で割ったものとなります。ま、ただの割合ですね！
大問2
内容 確率
難易度 易
大問2は確率でした。問題の設定が正しく読み取れれば非常に簡単な問題です。すぐに「式はどうなるのか」などと考えるのではなく、まずは問題の設定をきちんと読み取ることが大切です。
- さいころを振った後にカードを引く
- 偶数の目の場合は、目の数＋カードの表の数
- 奇数の目の場合は、目の数＋カードの裏の数
となるので、これをすべて表してみると下図のようになります。
確率の問題では、まず最初に全部で何パターンあるのかをきちんと数えることが大切となります。このとき、下手に計算に頼るのではなく、実際に書き出すという方針を忘れないようにしてください。
(1)はさいころの目が4で、カードがBとなるため
$$x=4+3=7$$
となります。
(2)も問題ないでしょう。$x$ が10以上となるのは、下図の丸のついた場合となります。
したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{5}{18}$ となります。
大問3（復習おすすめNo.2）
内容 関数
難易度 標準
大問3は関数の標準的な問題でした。この問題も、問題文をきちんと読んで設定を正しく把握することが大切です。
(1)はB社の方の料金です。基本料金と印刷枚数×10の和となるので
$$y=6000+10x$$
となります。
(2)は具体例となります。印刷枚数が320枚の場合を、A社とB社でそれぞれ求めていきましょう。A社の場合は、基本料金が2000円で、200枚までは1枚あたり20円なので $200\times 20=4000$ 円、残りの120枚は1枚あたり15円なので $120\times 15=1800$ 円となり、合計 $7800$ 円となります。B社の方は $6000+320\times 10=9200$ となります。
したがって、A社の方が1400円安くなることが分かります。
(3)も(2)の問題と同じように考えていけばいいのですが、このとき(2)の計算過程から、料金が等しくなるのは印刷枚数が200枚よりも多い場合しかないことを意識できたかどうかがポイントになります。A社の料金を求める際、200枚で料金が6000円になるという部分をよく意識してください。やはり関数の問題なのでグラフをイメージしておくといいでしょう。模範解答は計算のみで求めていますが、できればグラフをかいて考えてみて欲しいですね。
というわけで、グラフをかいてみると上図のようになります。A社の方は200枚までのグラフの方程式は $y=2000+20x$ で、200枚以降は $y=3000+15x$ となります。200枚以降の方程式は、傾きが $15x$ なのはすぐに求まるので、あとは $(200,\ 6000)$ を通ることから $y$ 切片 $3000$ が求まります。あとは、A社とB社の2式を連立して解いていきましょう。
\begin{align*}
\begin{cases}
y=6000+10x\\
y=3000+15x
\end{cases}
\end{align*}
これを解けば、$x=600$ が得られます。
大問4
内容 方程式
難易度 易
第1回も方程式の問題は易しかったのですが、今回も非常に易しい問題でした。問題の通りに素直に考えていけば簡単に解けたと思います。一方で、「引き分け」の存在を必要以上に考えてしまって、自分で問題を難しくしてしまったという人もいたかもしれません。
まずは、ルールを確認しましょう。
- 勝ったら5ポイント・負けたら2ポイント
- 引き分け3ポイント
これがルールで、10試合やってAが38ポイント、Bが29ポイントというのが与えられた条件となります。
Aが勝った回数を $x$ 回、Bが勝った回数を $y$ 回とすると、引き分けは $10-x-y$ 回となります。まずは、ここを確認しておきましょう。
その上で、Aが得たポイントは
$$5x+2y+3(10-x-y)=38$$
Bが得たポイントは
$$2x+5y+3(10-x-y)=29$$
これを連立して解けば、$x=5$ と $y=2$ が得られます。
大問5
内容 作図
難易度 標準
作図の問題は、どう作図するかの前にしっかりと図形的な考察をやっておきましょう。
- 点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{BC}$ 上にある
- $\mathrm{BC=AP+PC}$
$\mathrm{BC=AP+PC}$ については、もう少し考えましょう。$\mathrm{P}$ は $\mathrm{BC}$ 上の点なので、
$$\mathrm{BC=BP+PC}$$
となることはすぐに分かるはずです。ということは、$\mathrm{BP=AP}$ となるような $\mathrm{P}$ を考えればよいということになります。この問題のいちばんのポイントはこの部分ですね。
あとは垂直二等分線を作図すればOKですね。
大問6（復習おすすめNo.1）
内容 平面図形
難易度 標準
大問6は円を題材とした平面図形の問題でした。問題自体はそれほど難しくはありませんが、基本的な考え方が身についているかどうかを確認する上では良い問題だと思います。円に関しては、この先も円周角などを学習することになるので復習をやっておきましょう。円の定義は「ある点から等距離にある点の集合」です。円は中心と半径が定まれば1つに決まります。そのため、円の問題では常にこの2つを意識することが大切です。
(1)は角の問題ですが、円の半径が関係すると二等辺三角形がたくさん登場します。ここでも、$\mathrm{OA=OB=OC}$ なので、$\triangle\mathrm{OAB}$ と $\triangle\mathrm{OBC}$ は二等辺三角形となります。
したがって、$\angle\mathrm{OAB}=58^\circ$ より $\angle\mathrm{ABO}=58^\circ$ となります。また、$\angle\mathrm{BOC}=80^\circ$ から $\angle\mathrm{OBC}=50^\circ$ となります。したがって、$\angle\mathrm{ABC}=108^\circ$ となります。
(2)は $\triangle\mathrm{OAB}\equiv \triangle\mathrm{CDO}$ の証明です。条件として、$\mathrm{AB}//\mathrm{OC}$ と $\mathrm{AB=DO}$ が与えられています。対応する1辺と平行という条件（角の条件となります）があるので、示すべきは「2辺とその間の角」か「1辺とその両端の角」かを考えながら、どちらが証明できるかを考えていきましょう。
まず、円の半径に着目すると $\mathrm{OB=CO}$ となります。さらに、$\mathrm{AB}//\mathrm{OC}$ から $\angle\mathrm{ABO}=\angle\mathrm{DOC}$ となります。
したがって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので $\triangle\mathrm{OAB}\equiv \triangle\mathrm{CDO}$ が証明されました。
(3)はBDとOBの長さの比を考える問題ですが、実際は面積に関する問題です。与えられる条件が面積の条件となっていることからも予想できるでしょう。$\mathrm{OB:BD}$ は高さの等しい2つの三角形、$\triangle\mathrm{OBC}$ と $\triangle\mathrm{CBD}$ の面積の比と一致することを押さえましょう。
また、ここでは(2)の設定を引き継いでいることを忘れないでください。もちろん、$\triangle\mathrm{OAB}\equiv \triangle\mathrm{CDO}$ も利用できます。さらに意識して欲しいのは円の対称性です。下図のように、色付きの部分は合同な図形となるため面積は等しくなります（気になる人は証明してみましょう）。
そこで、$\triangle\mathrm{COB}=\triangle\mathrm{AOE}=a$ のように考えます。このとき、$\triangle\mathrm{CDO}=a+6$ となります。また、$\triangle\mathrm{OAB}\equiv \triangle\mathrm{CDO}$ なので、$\triangle\mathrm{OAB}=a+6$ となります。よって、四角形 $\mathrm{ABCE}$ の面積について
$$3a+6=48$$
となるわけです。したがって、$a=14$ となります。ゆえに、$\mathrm{OB:BD}=14:6$ すなわち $7:3$ となります。したがって、$\displaystyle \frac{3}{7}$ 倍となるのが分かります。
大問7（復習おすすめNo.3）
内容 空間図形
難易度 やや難
最後の問題は空間図形の問題でした。他の問題に比べると少し手が出にくい問題だったかもしれません。(1)、(2)は難しくありませんが、(3)の体積を求める問題はかなり正答率は低くなりそうです。この問題に関しては、今後学習する相似や三平方の定理を用いて考えるとラクに考えられるようになるので、現時点では出来なくてもあまり気にしなくてもいいでしょう。
(1)のねじれの位置に関しては問題ないでしょう。(2)については、典型的な問題として「三角錐C-ABFの体積を経由して求める」ような問題があるのですが、ここではそのような小賢しい方法は必要ありません笑。三角形の面積では底辺と高さが分かれば求まります。とくに高さに関しては $90^\circ$ というのがヒントになるので、与えられた $90^\circ$ の角に着目しながら、底辺と高さを考えていきましょう。
$\angle\mathrm{ABF}$ が $90^\circ$ であることに気がつけば、$\mathrm{AB}$ と $\mathrm{BF}$ の長さから $\triangle\mathrm{ABF}$ の面積を求められます。$\mathrm{AB}$ は分かっていますが $\mathrm{BF}$ は分かりません。しかし、$\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{FCB}$ は、$\mathrm{AB=FC=8cm}$、$\mathrm{BC=CB=6cm}$、$\angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{FCB=90^\circ}$ から合同であることが分かるので、$\mathrm{BF=AC=10cm}$ が得られます。
したがって、求める $\triangle\mathrm{ABF}$ の面積は
$$\frac{1}{2}\times 8\times 10=40\ (\mathrm{cm^2})$$
となります。
(3)については、どのように考えても計算がかなり面倒になります。前述したように平行線の定理や相似、三平方の定理を学習した後に復習するといい問題です。模範解答のような面倒な計算は必要なく、思った以上にスッキリと解けると思います。とはいえ、面倒な方法でも経験しておくことは大切なので、頑張って解説します（笑）
与えられた図のままで考えていける人はいいのですが、ちょっとイメージが難しいという人はいちど描き直してみるといいでしょう。必要な部分だけを残して、不要なものは消してしまいましょう。このとき、最初に $\angle\mathrm{ABC}=90^\circ$ を忘れずにチェックしておきましょう。体積でも $90^\circ$ はとても重要な条件となります。
ちょっと見えにくいという人は、無駄を削ぎ落として下図のように描き直すといいでしょう。
これで、四角錐が捉えやすくなるかと思います。さて、問題の体積ですが、いろいろな方向から考えていくことができます。できるのですが、残念ながら、現時点での知識では計算が手詰まりとなってしまうことがほとんどです。結局、辿り着くのは $90^\circ$ の利用という(2)と大差ない発想です。まあ、仕方ありません。
まずは、$\mathrm{AN}$ を結び、四角錐 $\mathrm{L-AMNC}$ を三角錐 $\mathrm{L-ANM}$ と三角錐 $\mathrm{L-ANC}$ の2つに分割します。模範解答に合わせるために $\mathrm{AN}$ を結びましたが、$\mathrm{CM}$ を結んでもOKです。
まず、三角錐 $\mathrm{L-ANM}$ について考えましょう。頂点を $\mathrm{N}$ で捉え直すと三角錐 $\mathrm{N-AML}$ となります。このとき、底面は $\triangle\mathrm{AML}$ で高さはNから平面 $\mathrm{ADEB}$ に下ろした垂線の長さであり、これは $\mathrm{NE=3cm}$ となります。
$\triangle\mathrm{AML}$ については下図の斜線部の面積となります。
これは、正方形 $\mathrm{ADEB}$ から $\triangle\mathrm{ADM}$、$\triangle\mathrm{ABL}$、$\triangle\mathrm{MEL}$ を引けばいいのですが、$\triangle\mathrm{ADM}$ と $\triangle\mathrm{ABL}$ で正方形の半分の長方形を作れることに注意して
$$8\times 4-\frac{1}{2}\times 4\times 4=24$$
と求められます。したがって、三角錐 $\mathrm{L-ANM}$ の体積は
$$\frac{1}{3}\times 24\times 3=24$$
となります。
同様にして、三角錐 $\mathrm{L-ANC}$ についても考えてみましょう。頂点を $\mathrm{A}$ で捉え直すと三角錐 $\mathrm{A-LNC}$ となります。このとき、底面は $\triangle\mathrm{LNC}$ で高さはAから平面 $\mathrm{BEFC}$ に下ろした垂線の長さであり、これは $\mathrm{AB=8cm}$ となります。
$\triangle\mathrm{LNC}$ については下図の斜線部の面積となります。
こちらは上手く計算できそうにないので、模範解答のように台形 $\mathrm{BENC}$ から $\triangle\mathrm{CBL}$ と $\triangle\mathrm{ENL}$ を引いて考えましょう。
$$\frac{(6+3)\times 8}{2}-\frac{6\times 4}{2}-\frac{4\times 3}{2}=18$$
したがって、三角錐 $\mathrm{L-ANC}$ の体積は
$$\frac{1}{3}\times 18\times 8=48$$
となります。以上から、求める四角錐の体積は
$$24+48=72\ (\mathrm{cm^2})$$
となります。
まとめ
というわけで、今回の総合模試は全体的に平易な問題が多かったですね。空間図形の最後の問題の計算が面倒だったくらいでしょうか。解くのにかかった時間は実質30分くらいだったので、余裕を持って解けた人も多かったのではないかと思います。
２学期に入ると、2次関数、相似、円、三平方の定理など、入試でも頻出の内容がたくさん登場します。当然、模試の問題も難しくなっていきます。そのため、今回の出題内容でとくに弱点となっているような部分は早急に復習をしておくことが大切です。
結果が気になる人も多いと思いますが、この時期の成績は参考程度に考えておきましょう。結果に一喜一憂するのではなく、現時点での理解度を把握し、今後の課題を考えるようにしましょう。分かっていないことをちゃんと認識することが何よりも大切です。
まだまだ入試までは時間があります。頑張っていきましょう！