第1回金沢市統一テスト 2021（数学）
ということで、今年も「解いてみた」をやってみました！ 率直な感想としては、昨年の第1回の問題と難易度的には大きな差はなく、質の良い良問揃いという感じです。ただし、大問数が8もあるので、時間が足りなかったという人も多かったでしょう。
石川県総合模試などを受験して入試形式の問題に慣れている人であれば、時間配分などを考慮しつつ解けたと思います。しかし、そうした経験が少ない人は「考えているうちに時間がかなり過ぎていた」なんてことになり、かなり焦ったのではないかと思います。また、今回は後半の図形の問題が易しめの問題だったため、前から順番に解いていった人は得点が伸びにくいかもしれません。
本番では問題数的にもう少し余裕があると思いますが、本番のプレッシャーを考えると、やはり「余裕のなさ」を感じながら受験するものだと思っておくといいでしょう。50分という時間をどう使っていくかは、普段の勉強の中でも意識しておきたい部分ですね。
進路決定の上で重要と言われる金沢市統一テストですが、過去の塾生の統一テストの得点と進学先などを見ていると、そこまで得点を気にする必要はないと思います。それよりも、できなかった部分をきちんと復習しておくこと、今後の勉強の進め方を修正すること、などの方が重要と言えます。本番まではまだ時間があるので、点数だけを見て判断することのないようにしたいところです。
概観
昨年の統一テストと同じく、教科書で扱う基本的な知識が正しく身についていれば点数が取れる問題がほとんどでした。特別な知識や受験テクニックなどを全く知らなくても、数学をちゃんと勉強していれば満点も可能なテストでした。今回のテストで思ったように得点できなかった人は、まず教科書内容の復習をきちんとやることが大切です。
時間的な問題で全部解けなかったという人は、まず、時間制限なしでどのくらいできるのかをきちんと把握しておきましょう。易しめの問題が多かったとはいえ、それぞれの問題がある程度の「重さ」を持っているため、それなりの時間はかかります。大問8つはちょっと盛り込みすぎな感じもするので、50分で全問を解くためには、素早く道筋を見つける相応の理解度が要求されます。また、問題の取捨選択が得点の伸びに影響を与える部分もあったと思うので、得点だけを見て判断しないようにすることも大切です。
差がつきそうな問題としては、大問4の関数の問題、大問6の規則性の問題などでしょうか。大問7、大問8は図形の問題としてはかなり易しい問題だったので時間内に手をつけられた人は得点が伸びそうです。平均点は昨年より少し高めになるのではないかと思います。個人的には60点以上あってもいいなあという感じですが・・・近年の数学力の低下を考えると、50点前後になることも十分に考えられます（なってほしくないですが）。
大問1
大問1は計算や基本的な知識を問う小問集合でした。
(2) $x=2\pm\sqrt{6}$
(3) $y=8$
(4) $x=75^\circ$
(5) $18$
(1)の計算は全問正解しておきたい問題です。とくにエの計算は間違う人が多いので要注意です。また、意外にもイやオでの計算ミスも目立ちます。いつも指摘していますが、計算ミスの多い人は「途中式をやたらと書く人」と「暗算力が弱いのに暗算しまくる」という両極端なタイプが多く見られます。ここで出てくる問題は、いずれも1行程度の途中式で解けるものなので、あまりにも途中式が多い人は暗算力を高めていきましょう（といっても闇雲に暗算練習をするのでは意味がありませんよ！）。逆に、途中式をほとんど書かない雑なタイプの人は、少し丁寧に取り組むように気を付けておきましょう。
(2)は $(x-2)^2-6=0$ という2次方程式を解く問題です。この問題、展開して $x^2-4x-2=0$ とし解の公式を用いて解いたという人もいるかもしれませんが、かなり面倒で計算ミスを誘発しそうです。ここは、平方根をとって考えていきましょう。
\begin{align*}
(x-2)^2-6&=0\\
(x-2)^2&=6\\
x-2&=\pm\sqrt{6}\\
x&=2\pm\sqrt{6}
\end{align*}
とするのがもっとも簡単でしょう。因数分解か解の公式かみたいな感じで思考が固定されてしまっている人は要注意です。計算ミスの多い人は、無駄な計算をやっていることが多いことも指摘しておきます。
(3)は $y$ が $x$ の2乗に比例しているということが正しく理解できていれば、$x=-3$ のとき $y=18$ から、$(-3)^2\times 2=18$ だから $y=2x^2$ だなくらいにサッと把握できるはずです。$y=ax^2$ とおいて・・・としても間違いではありませんが、余計な手間がかかるので不要です。$y=2x^2$ とわかれば、 $x=2$ のときは $y=8$ とすぐに求められるでしょう。
(4)もよくあるタイプの問題です。こんな感じの図が与えられています。
この問題で次のように考えてしまった人はいませんか？
これなんかは問題集によく載っている「解法」なのですが、解法にとらわれて面倒なことをやってしまっている人をよく見かけます。もちろん間違いではありませんが、もう少し考えて欲しいですね。こういう感じで、数学の勉強をやっているつもりが実は全く逆効果なんていうことになっている中学生は多いので気を付けましょう。
普通に分かっているものをきちんと書き出していけば、上図から $x=75^\circ$ がすぐに分かります。
(5)は中央値や階級値といったことばの定義を覚えていれば問題ないでしょう。中央値はデータの真ん中の値です。全部で35人なので、中央値は18番目の人です。上からでも下からでもいいですが、18番めの人がどの階級に入るかを数えると、16〜20のところに入ります。この16〜20の中央の値をとって、求める階級値は18となります。
大問2・確率
大問2は確率の問題でしたが、確率よりも図形を考察する部分の方が大切です。確率については後で考えることにして、まずは図形の部分をきちんと処理してから考えていきましょう。状況の把握が先ですよ！
頂点Aに2点P、Qがあるところからスタートです。大きいさいころの出た目を $a$、小さいさいころの出た目を $b$ とします。ということは $a$、$b$ のセットを $(a,\ b)$ と表せば、$(a,\ b)$ は全部で36通りとなります。そして、PもQもA〜Fのいずれかに止まることができます。このくらいのことは最初に確認しておきましょう。
さて、与えられた規則は以下のようになります。
- 点Pは正六角形ABCDEFの頂点上を反時計回りに $a$ だけ動く。
- 点Qは正六角形ABCDEFの頂点上を時計回りに $b$ だけ動く。
(1)は、$\triangle\mathrm{APQ}$ が正三角形となる確率です。まず、$\triangle\mathrm{APQ}$ が正三角形となる場合を図に描いてみましょう。
頂点Aを含む正三角形は $\triangle\mathrm{ACE}$ しかありません。したがって、「PがC、QがE」または「PがE、QがC」の2通りの場合が考えられます。$(a,\ b)$ の形で確認すれば $(4,\ 4)$ と $(2,\ 2)$ です。ゆえに、求める確率は $\displaystyle \frac{2}{36}=\frac{1}{18}$ となります。
(2)は $\triangle\mathrm{APQ}$ が二等辺三角形（正三角形は除く）となる場合です。これも、まずは二等辺三角形となる図形を考えます。
頂点Aを含む二等辺三角形は、$\triangle\mathrm{ABF}$、$\triangle\mathrm{ABC}$、$\triangle\mathrm{AEF}$ の3つが考えられます。それぞれの三角形に対して、PとQの決め方は2通りずつあるので、全部で6通りあることになります。したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ となります。気になる人は、$(a,\ b)$ の組を書き出して考えてみるといいでしょう。
大問3・方程式
難易度 易
方程式の問題では、最初から式を作ろうという人をよく見かけますが、大体失敗しているように思います。大切なことは、一度自分の手で情報を整理するということです。
今回の問題では
(1) A地区の人数は先月より60%増加
(2) B地区の人数は先月より50%増加
(3) A地区とB地区の人数の合計は先月より54％増加
(4) 先月はA地区がB地区より10人少なかった
という4点を把握できていたかどうかがすべてです。式は問題ではありません。
ここでは、A地区の先月の人数を $x$ としてみます。このとき、(4)からB地区の先月の人数は $x+10$ となります。
まず(1)から 今月のA地区の人数は $1.6x$ です。また(2)から、B地区の今月の人数は $1.5(x+10)$ となります。
さらに、(3)から
$$1.54\times (2x+10)=1.6x+1.5(x+10)$$
となります。あとはこれを解くと、$x=20$ が得られます。よって、A地区が20人、B地区が30人ということになります。
大問4・関数
難易度 標準
(2) $y=-180x+2520$
(3) $1620$ m
大問4は関数の問題でした。最近よく見かけるダイヤグラムを用いた問題ですが、情報量が多いため点差のつきやすい問題だったと思います。先にグラフを見てから問題文を読んでいく方が、状況が把握しやすいかもしれません。
与えられているのが、このようなグラフです。あきらさんと兄が登場するので、それぞれの動きを整理しましょう。
- あきらさんは8時に家を出て1800m離れた学校まで一定の速さで歩いた
- 兄は8時4分に学校を出発して、分速180mの自転車で家に向かい、家で忘れ物を取るのに4分かかって、同じく分速180mで学校まで戻ったら途中であきらさんを追い抜いた
ということらしいです。
まず、この時点で(1)と(2)はすぐにできそうです。
(1)については、あきらさんは30分で1800m進むことになるので、1分で60m進みます。よって分速60mですね。こういう問題で「はじき」だの「みはじ」だの変な絵を描いて求めている人を見かけますが、そういう人は、すでに危険な状態ですのでご注意を。
(2)では、兄は分速180mで1800m進むので、かかる時間は10分となります。このとき、グラフを見て傾きが速さに対応していることに気づけなくてはいけません。先ほど言ったように「はじき」などを使って考えている人は、こういうことが考えられなくなる可能性が高いのでやめた方がいいでしょう。
さて、傾きが分かったら、$y=-180x+b$ のように表せることが分かります。あとは、適当な座標を用いて $b$ を求めましょう。ここでは、兄が学校を出発する $(4,\ 1800)$ を利用してみます。
$$1800=-180\times 4+b$$
を解いて、$b=2520$ が得られるので、求める関係式は、$y=-180x+2520$ となります。
さて、ここまでの話をサクッとまとめると次のようになります。
兄が出発したのが4分後、そこから10分かけて家に戻り、4分間忘れ物を探し、同じ速度で戻るので10分で学校に戻ります。その時間を書き込むと上のようになります。これをもとにしながら、(3)を考えてみましょう。
兄があきらさんを追い抜くのは、グラフの一番右側の2つのグラフの交点となります。この交点の $y$ 座標が求めるものです。弟の方のグラフは(1)の結果から、$y=60x$ とすぐに分かります。また、兄が家から学校へ向かうときのグラフは、傾きが $180$ なので $y=180x+c$ のようにおけ、$(18,\ 0)$ を通ることから $0=180\times 18+c$ となります。$c=-3240$ より、$y=180x-3240$ となります。
よって、$y=60x$ と $y=180x-3240$ を連立して $y$ を求めましょう。このとき、$y$ を消去してはもったいないので、$y=60x$ から $3y=180x$ として $y=180x-3240$ に代入して
$$y=3y-3240$$
として計算すると無駄がなくなります。これを解いて、$y=1620$ となります。
相似を用いた別解
相似を学習済みの場合、(3)は相似を利用して図形的に解決できます。こちらの方が計算がラクになるので参考にしてください。
先程のグラフから必要な箇所だけを抜き出してあります。上の図で $\triangle\mathrm{OAB}\sim \triangle\mathrm{DCB}$ となります。このとき、$\mathrm{OA:DC=18:2=9:1}$ となることを確認しましょう。この比を $y$ 軸に移して $OP:PQ=9:1$ となります。したがって
$$1800\times \frac{9}{10}=1620$$
と計算することができます。直線の式を求める煩わしさがなく、シンプルに計算できますね。
大問5・作図
難易度 標準
大問5は作図の問題でした。作図の問題では、作図の方法そのものよりも図形的な考察ができていない人が多いので、やはり図形の知識はきちんと確認しておくことが大切です。図形的な特徴をきちんと把握すれば作図そのものは難しくありません。
今回は $\mathrm{PA=PB}$ という条件から、$\mathrm{P}$ が $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線となることが把握できたかどうかがポイントです。垂直二等分線の作図ができても、$\mathrm{PA=PB}$ が何を表しているか分からなければ作図はできませんのでご注意を！
もう1つは、$\angle\mathrm{PCA}=45^\circ$ です。これは $\mathrm{AC}$ に垂直な直線を描き、さらに角の二等分線を作図すればOKです。
大問6・規則性
難易度 標準
(2) $n^2$
(3) 20
大問6は規則性の問題でした。有名な問題なのでやったことがあるという人もいたかもしれませんね。
そこまで難しい問題ではないのですが、今回の中では点差がつきやすかった問題だと思います。
左から1番目、2番目、3番目の図となります。そして、次のようなものが書かれていました。
ただし、1から $n$ までの自然数の和は、次の式を用いて求められる。
$$1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$$
(1)は6番目の図形について、白い直角三角形の個数を求めよという問題ですが、具体例をちょっと増やしてみましょう。4番目の図形を描いてみると
こんな感じになります。まだ何も見えてこない人は実際に6番目まで描いちゃいましょう！
白い三角形（ついでなので黒い三角形も数えておきましょう）は以下のようになっていくことが分かります。
$$1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ 21,\ \cdots\cdots$$
白い三角形の増え方を図形を見ながらよ〜く考えてみましょう。もともとあった三角形の一番下の段に $n$ 個分白い三角形が増えていくことになります。これを表の形で表すと下のような感じになります。
例えば $n=4$ の場合、もともとあった $n=3$ のときの6つの白い三角形の下に、$n$ の値4つ分だけ白い三角形を付け加えることになります。この規則を見つけられるとOKです。ちなみに黒い三角形は白い三角形と1つずれた形で現れることも見えてきます。
※実際には他の規則を考えて解くこともできますがここでは割愛します。
ということで、表を作っていくと、6番目の白い三角形は21個であることが分かります。
(2)は、$n$ 番目の白い三角形と黒い三角形の合計の個数となりますが、これは簡単です。先程の表に付け加えてみれば分かります。$n=1$ のときは1、$n=2$ のときは4、$n=3$ のときは9、とここまで書き出してみると、$n^2$ となることが分かります。
(3)は黒い三角形が190個のときの$n$の値を考える問題です。これを考えるときは、先程の表から規則を考えるといいでしょう。
$n$ 番目の黒が190なので、$n-1$ 番目の白も190となります。この190に $n$ を加えたものが $n$ 番目の白の個数です。あとは、白と黒を加えたものが $n^2$ となればよいので
$$190+190+n=n^2$$
となります。これを整理していくと
\begin{align*}
n^2-n-380&=0\\
(n-20)(n+19)&=0
\end{align*}
$n$ は自然数となるので、$n=20$ が求まります。
大問7・空間図形
難易度 易
(2) $30\pi\ \mathrm{cm}^3$
(3) $57\pi\ \mathrm{cm}^2$
今回の空間図形の問題は非常に簡単でした。「空間図形」というだけで後回しにしてしまった人は「解いておけば良かった！」となったかもしれません。入試では難しい問題が多いので、後回しにするというのも作戦の1つですが、それが上手くいくとは限らないので注意が必要です。
(1)は半径3cmの半球の表面積と、半径3cmの円の面積を加えたもので
$$\frac{1}{2}\times 4\pi\times 3^3+3^2\pi$$
となります。計算すると $18\pi+9\pi=27\pi$ です。
(2)は半径3cmの半球の体積と、半径半径3cmの円を底面とする高さ4cmの円錐の体積を加えたもので
$$\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi\times 3^3+\frac{1}{3}\times 3^2\pi\times 4$$
となります。計算すると $18\pi+12\pi=30\pi$$ です。
(3)は半径3cmの半球の表面積と、半径3cmの円を底面とする高さ4cmの円柱の側面積、半径3cmの円を底面とする高さ4cmの円錐の側面積を合わせたものとなります。
半径3cmの円を底面とする高さ4cmの円柱の側面積 は
$$6\pi\times 4=24\pi$$
であり、半径3cmの円を底面とする高さ4cmの円錐の側面積（おうぎ形の面積）は
$$\frac{1}{2}\times 5\times 6\pi=15\pi$$
なので、$18\pi+24\pi+15\pi=57\pi$ です。
ちなみに、(3)のおうぎ形の面積を求める際に、$S=\frac{1}{2}lr$ という公式（下図参照）を使っていますが、これを単に覚えているだけという人が多いようです。そこで、この計算でおうぎ形の面積が求められることを一度きちんと確認してみてください。
これについては以下の記事を参考にしてください。
塾長日が暮れるのが早くなってきました。気がつけば11月も半分をすぎました。歳をとったせいか、1年が本当に早く感じるようになりました。そして、気がついたら死んでいるんでしょうね（いつもコレ言ってんな）。先日の金沢市統一[…]
大問8・平面図形
難易度 易
(2) $56^\circ$
(3) $\displaystyle \frac{3}{8}$ 倍
大問8は平面図形の問題でしたが、これもそれほど難しい問題ではありませんでした。基本となるのは平行、錯角、同位角です。
(1)は証明です。まずは、与えられた条件を図を確認していきましょう。
平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ が与えられていて、$\mathrm{CF}//\mathrm{AG}$ となります。このとき、$\triangle\mathrm{ABG}\equiv \triangle\mathrm{CDE}$ を証明します。
まずは、平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ から、$\mathrm{AB=CD}$、$\angle\mathrm{ABG}=\angle\mathrm{CDE}$ です。残り1つは角を狙うか辺を狙うかですが、平行が使える角を狙っていきます。
ここでは、$\mathrm{CF}//\mathrm{AG}$ から同位角 $\angle\mathrm{BAG}=\angle\mathrm{AFE}$ となります。また、$\mathrm{FB}//\mathrm{CD}$ となるので、錯覚 $\angle\mathrm{AFE}=\angle\mathrm{DCE}$ となります。
したがって、$\angle\mathrm{BAG}=\angle\mathrm{DCE}$ となります。以上から $\triangle\mathrm{ABG}\equiv \triangle\mathrm{CDE}$ が示せました。
(2)もこの流れですぐに求まります。
$\mathrm{AB=BG}$ が与えられているので、$\triangle\mathrm{ABG}$ は二等辺三角形となり、$\angle\mathrm{ABG}=68^\circ$ であることから $\angle\mathrm{BAG}=\angle\mathrm{BGA}=56^\circ$ です。また、$\mathrm{CF}//\mathrm{AG}$ から同位角 $\angle\mathrm{BAG}=\angle\mathrm{AFE}$ なので、$\angle\mathrm{AFE}=56^\circ$ ですね。
(3)は面積比の問題ですが、これも定番である「高さの等しい三角形」に着目すれば簡単でした。
図のように色付きの $\triangle\mathrm{ABG}$ と 斜線の $\triangle\mathrm{ABC}$ の比は $8:6=4:3$ となっています。また、$\triangle\mathrm{ABC}$ は平行四辺形の $\displaystyle \frac{1}{2}$ であるから
$$\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$$
とすぐに求められます。
解いてみての感想
全体的に平易な問題が多く、私は30分以内に解くことができました。石川県総合模試などで難易度の高い問題をやっている人は、ちょっと拍子抜けしたかもしれません。ただし、近年の数学力の低下をみると、このレベルでも平均点は50点台になるのではないかと思っています。
まあ、点数的なものはもう少ししたら公開されると思うので、それを待つことにしましょう。それよりも、しっかりと復習をやっておくことが大切です。とくに今回は易しい問題が多かったので「解けていた問題」を違う角度から点検してみるということもオススメです。