2021年度第2回金沢市統一テスト（数学）
実は1/9に第7回石川県総合模試も実施されていたので、金沢市統一テストとどっちの解説記事を書こうかなと迷いました。が、統一テストの問題の方が興味深い問題が多かったので、今回は総合模試の解説はお休みにして、金沢市統一テストの解説をやっていきたいと思います。
前回の第1回の問題も良質な問題が多かったのですが、第2回も非常に良い問題が多かったですね。問題そのものの難しさでいうと、石川県総合模試の方が難しかったと思うのですが、統一テストは問題作成者のレベルが高いなという感じがします。とくにここ2、3年の問題は個人的にも好みです。そんなわけで、しっかりと復習することで理解が深まるような問題が多いので、早めに復習に取り組んでおきましょう。
概観
第1回の統一テストと同じく、教科書で扱う基本的な知識が正しく身についていれば点数が取れる問題ばかりです。受験用の参考書や問題集にあるような特別なテクニックは全く必要ありません。むしろ、そうしたテクニックに頼り、大事な部分をすっ飛ばして勉強をしている人の方が苦戦したかもしれません。逆に、基礎を大切にして勉強をしてきた人であれば、高得点が取れたのではないかと思います。得意な人であれば満点も可能な問題でした。
大問数が8と比較的多めでしたが、ちゃんと考えればそこまで計算量は多くならないので、思ったよりも早く解けたという人も多かったでしょう。時間が足りなかったという人は、もう少し問題を冷静に眺めてみるといいでしょう。焦ってすぐに解こうとすると、全体像を見失って余計な計算などを繰り返してしまい、かえって時間のロスになったりしてしまいます。
差がつきそうな問題としては、やはり大問7と8の図形の問題でしょうか。問題自体はそこまで難しい問題ではありませんが、焦って解こうとするとミスをしがちです。また、図形は最初から敬遠してしまう人も多いため、今回のように難しくない問題の場合は意外にも差がついてしまいます。図形を敬遠するというのは受験用の作戦なのかもしれませんが、それでいいのでしょうか？
いずれにしても、図形がからむ問題は全般的に点数が伸び悩む傾向があるので、今回も同じような感じになると思います。
解いてみた上で感じた難易度は易しめでした。ただし、前回の統一テストの結果や、石川県総合模試の結果を見ていると、そこまで平均は高くならないのではと思います。本来であれば、このレベルだと60点台の前半くらいにはなりそうなのですが・・・どうなるでしょうか。
大問1
大問1は計算や基本的な知識を問う小問集合でした。が、油断するとミスを連発しそうな少しトゲのある問題が含まれていました。
(1)の計算はミスなく終わらせたいところです。ミスが多いのは、やはりエやオの計算です。
\begin{align*}
2x-\frac{3x-2y}{4}&=\frac{8x-(3x-2y)}{4}
\\&=\frac{5x+2y}{4}
\end{align*}
符号の扱いは要注意ですね。
オの根号の含まれる計算は、面倒なことをやってミスしている人が多いので気をつけましょう。
\begin{align*}
\sqrt{60}-5\sqrt{3}\div \sqrt{5}&=2\sqrt{15}-\sqrt{15}\\
&=\sqrt{15}
\end{align*}
くらいの計算で済ませられるようにしておくといいでしょう。とくに $5\sqrt{3}\div \sqrt{5}$ の部分は
$$\sqrt{5}\times\sqrt{5}\times \sqrt{3}\div\sqrt{5}$$
と見えると計算が簡単になります。
(2)の2次方程式は、工夫して計算できそうな感じですがオーソドックスに展開して整理してから計算するのが早いです。
\begin{align*}
(x-2)(x-3)&=3x+15\\
x^2-5x+6&=3x+15\\
x^2-8x-9&=0\\
(x-9)(x+1)&=0
\end{align*}
したがって、求める解は $x=9$ または $x=-1$ となります。
(3)は案外手こずった人もいたかもしれません。等式の操作は淀みなくできるのに、不等式になると急にできなくなる中高生が多いので、苦手意識のある人はきちんと復習しておきましょう。
$\sqrt{6}$ については $\sqrt{4}<\sqrt{6}<\sqrt{9}$ となるので、$2<\sqrt{6}<3$ となります。なので、$\sqrt{6}$ は $2.3$ とかそのへんの数なのだなと思ってください。同様に、$\sqrt{36}<\sqrt{40}<\sqrt{49}$ となるので、$6<\sqrt{40}<7$ から $\sqrt{40}$ は $6.5$ とかそのへんの数なんだなと思いましょう。
そうすると、$\sqrt{6}<n<\sqrt{40}$ を満たす整数は、$2.3<n<6.5$ のように考えて、3、4、5、6の4つだと分かります。
(4)は相似の基本的な問題でした。
$\triangle\mathrm{ADE}\sim\triangle\mathrm{ABC}$ となることをすぐに見抜きましょう。$\mathrm{DE}//\mathrm{BC}$ なので、同位角である $\angle\mathrm{ADE}=\angle\mathrm{ABC}$、$\angle\mathrm{AED}=\angle\mathrm{ACB}$ から相似であることが分かります。
というわけで、$\mathrm{AD:AB=DE:BC}$ すなわち $12:20=15:x$ から $x=25$ が求まります。
(5)は四分位範囲を求める問題でした。このあたりの知識が薄くなっている人は、この際なのでしっかりと復習しておくといいでしょう。データを小さい方から順に並び替えて整理してみると
26 27 33 34 34 38 39 42 46 47 49
第一四分位数が33、第三四分位数が46となるので、$46-33=13$ が四分位範囲となります。
大問2・関数
大問2は2次関数の基本的な問題でした。きちんと理解している人は、3分ほどで通過できたのではないかと思います。簡単すぎて「え？こんなのでいいの？」と思った人もいたかもしれません。
与えられていたのが、上のような図です。
(1)は $y=x^2$ について、$-3\leqq x\leqq 4$ のときの $y$ の変域を求める問題でした。これは、しっかりグラフを見て考えればOKです。
$x$ が $-3$ から $4$ まで動くとき、$y$ は $9$ から減少して $0$ まで進み、そこから再び増加して $16$ まで進みます。したがって、求める $y$ の変域は $0\leqq y\leqq 16$ となります。始点と終点だけを考えて、$9\leqq y\leqq 16$ とする間違いが多いので気をつけましょう。
(2)は直線ACの式を求める問題です。Aの座標は $(4,\ 16)$、Cの座標は $(1,\ 1)$ とすぐに求められます。したがって、この2点を通る直線の式を求めればOKです。このとき、すぐに $y=ax+b$ として座標を代入し、
\begin{align*}
\begin{cases}16=4a+b\\1=a+b\end{cases}
\end{align*}
のような計算にもっていく人が多いのですが、計算が面倒になることが多いので、できれば傾きから考えられるようになっておくといいでしょう。
CからAへは、$x$ が3増えるあいだに $y$ が15増えるので、傾き（変化の割合）は5と暗算で求められるでしょう。したがって、$y=5x+a$ のような直線になります。
あとは、これが点Cを通るので、$1=5+a$ から $a=-4$ が分かります（実際にはこれも頭の中で計算してますが）。
よって、$y=5x-4$ が求める直線の式となります。
(3)は関数と図形の融合問題です。入試では頻出の問題ですが、この手の問題は図形の問題であるという意識を持っておくといいでしょう。関数の知識も必要ですが、メインとなるのは図形です。
今回は、三角形の面積比を考える問題ですが、図形が見えている人はおそらく数秒でクリアできたと思います。
$\triangle\mathrm{ADC}$ と $\triangle\mathrm{BDC}$ の面積を考えるのですが、余計なものを取り払ってみるとよく分かります。まず、関数のグラフを取り払ってみます。
こんな感じになって、$\triangle\mathrm{ADC}$ と $\triangle\mathrm{BDC}$ だけが残ると、あ！と気づく人も多いでしょう。もっとやってしまうと高さの等しい三角形がよ〜く見えるでしょう。
ここまでくれば、$\triangle\mathrm{ADC}$ と $\triangle\mathrm{BDC}$ の面積比は、$\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BD}$ の比で求まることが分かります。$\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BD}$ の比については
と見れば、平行線のつくる比を考えることで、結局は $x$ 軸上での長さの比 $3:4$ となることが分かります。これで求まりました。
$$\triangle\mathrm{ADC}:\triangle\mathrm{BDC}=4:3$$
ですね。分かっている人は一瞬で最後の状況が見抜けたと思います。まだ、あまり慣れていない人は、しっかりと順を追って確認してみてください。
大問3・確率（復習オススメNo.3）
難易度 易
大問3は確率の問題でした。4枚のカードから2枚のカードを同時に取り出すという問題です。答えを出すだけなら別に何も難しくない問題なのですが、この問題の持つ意味をちょっと考えてもらいたいなあと思います。
(1)では、3、4、5、6と書かれた4枚のカードで、取り出した2枚のカードに書かれた数の積が20以上となる確率を考える問題です。取り出される2枚の数の組を書き出していくと、下のような6通りが考えられます。
このうち、積が20以上となるのは、(4、5)、(4、6)、(5、6)の3通りなので、求める確率は
$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
となります。
(2)のアでは、4、4、5、6と書かれた4枚のカードに変更になります。そうして、取り出した2枚のカードに書かれた数の積が20以上となる確率を考えます。
このときに、取り出す2枚の組は
の4通りで、積が20以上となるのは、(4、5)と(4、6)と(5、6)の3通りなので、求める確率は $\displaystyle \frac{3}{4}$ とする人がたまにいます。
このように分けてしまうと、それぞれの組の出やすさが等しくなりません。実際、(5、6)の組の出やすさと(4、5)の組の出やすさは異なってしまい、(4、5)の方が出やすくなってしまいます。これでは、確率を求めることはできません。
そのため、2枚ある4を区別して考える必要が出てきます。
区別して考えれば上のように組を分けることができ、それぞれの組の出やすさは等しくなります。あとは、積が20以上になる組ですが、(4、4)以外はすべて20以上となるので、求める確率は
$$\frac{5}{6}$$
となります。このように「同様に確からしい」という言葉は、何かのおまじないくらいにしか考えていない人が案外多いのですが、確率の問題を考察する上では非常に重要な考え方となります。この問題では、そこをよく考えて欲しいなあと思います。
イは、4枚のカードが3、4、5、7に変わります。これは(1)と同様に考えていけば問題ないでしょう。
全部で6通り、そのうち積が20以上となるのが4通りなので、求める確率は
$$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$
となります。
以上から、アの方が確率が大きいことが分かりました。
大問4・作図（復習オススメNo.2）
難易度 標準
最近の作図の問題は難化傾向にありますが、今回の統一テストの問題も一筋縄ではいかない問題でした。
作図の問題では、闇雲に線を引いてもダメなのでまずは図形的な考察をしてから、どう作図するかを考えましょう。というわけで、1つ1つ条件をチェックしていきましょう。
まず、点Pがつくる三角形 $\triangle\mathrm{PBC}$ が長方形の面積の $\displaystyle\frac{1}{4}$ になるとき、Pはどのような位置にくるでしょうか。仮にAD上にPがあるとすると、長方形の面積の $\displaystyle\frac{1}{2}$ になります。ということは高さを半分にすればよいので、CDの垂直二等分線上にPが存在することが分かります。
次に、$\angle\mathrm{CPD}=90^\circ$ となることを考えましょう。
$90^\circ$ の作図はいろいろな方法があるのですが、今回はせっかくなので円周角を考えていきましょう。
下図をみると分かると思いますが、$\angle\mathrm{CPD}=90^\circ$ となるとき、PはCDを直径とする円周上に存在します。
したがって、CDを直径にとり、ぐるっと円周を描いて、先程のCDの垂直二等分線と交わる部分（ただし長方形の外側）に点PをとればOKです。
直角三角形と円の関係は非常に重要なので、この問題を通してしっかりと理解しておきましょう。
大問5・方程式
難易度 易
大問5は方程式の問題でした。問題文が長いので、面倒臭いと思った人もいるかもしれませんが、やってみれば初歩的な問題だと気づいたのではないかと思います。近年の公立高校入試では問題の長文化も1つの特徴です。しっかりと情報を整理しながら問題に取り組みましょう。
というわけで、今回は2つの表が用意されていました。
まずは、バス停の距離を見るための表です。そして、もう1つが運賃表です。
これらを見ながら状況を把握していきましょう。
問題では、バス停Aからの乗客はおらず、バス停Bで大人8人が乗車したとあります。が、正直なところ、バス停Bで8人乗車という情報だけでOKです。いらない部分は切り捨てていきましょう（笑）
そして、このうちの何人かがバス停Cで降ります。$x$ 人降りたことにしましょう。残った $8-x$ 人がバス停Dで降りたところ、運賃の合計が2900円になったそうです。
さて、これを上の表に戻って考えましょう。まずはB〜Cまで乗った場合、表1から距離が5kmとなるので、運賃は表2から250円となります。B〜Dまで乗ると、距離が10kmとなり運賃は430円となります。ということは
$$250x+430(8-x)=2900$$
という関係が得られます。簡単ですね。あとはこれを解いて $x=3$ となるため、Cで降りた人は3人、Dで降りた人は5人となります。
大問6・関数（動点）
難易度 標準
問6は動点の問題でした。同点の問題では点の動きに合わせて場合を分けていくことが大切です。今回の問題もPとQがそれぞれ異なる動きをしていくので、少しずつ点を動かしながら動きの変わる部分を発見していきましょう。
$x$ 秒後に点PとQがどういう位置にあるか、1秒ごとに追いかけていくと・・・
$0\leqq x\leqq 6$ のときは、PもQもそれぞれAB上、BQ上を1cm/sの速さで進みます。
こんな感じですね。このときPBもBQも長さは $x$ cmとなることも確認しましょう。したがって、$\triangle\mathrm{PBQ}$ の面積は
$$\frac{1}{2}\times x\times x=\frac{x^2}{2}$$
と表されます。6秒後にPはAの位置で止まってしまうため、$6\leqq x\leqq 8$ のときは、QだけがBC上を動いていきます。
ここでもBQの長さは$x$ cmとなるので、 $\triangle\mathrm{PBQ}$ の面積は
$$\frac{1}{2}\times 6\times x=3x$$
と表されます。そして、$8\leqq x\leqq 18$ では、QはCA上を動いていきます。
このときの $\triangle\mathrm{PBQ}$ の面積はどう求めるのがいいでしょうか。ABと底辺と考えると、高さを表すのが大変そうです。$\triangle\mathrm{ABC}$ から $\triangle\mathrm{BQC}$ を引くというのも考えられますが、同様に $\triangle\mathrm{BQC}$ 高さを表すのが大変そうです。なので、ここではAQを底辺と見て考えていくのが良いでしょう。
AQの長さについては、B〜C〜AというQの動きに着目すると $18-x$ と表されます。
そして、このとき大切なことは、AQを底辺と見た場合の高さをどう求めるかです。これは頻出の問題で、面積を経由することで求められます。下図のBHを求めてみてください。
$$6\times 8=10\times \mathrm{BH}$$
からすぐに $\mathrm{BH}=4.8$ が求まります。したがって、$8\leqq x\leqq 18$ における $\triangle\mathrm{PBQ}$ の面積は
$$\frac{1}{2}\times 4.8\times (18-x)=2.4(18-x)$$
となります。実際に今回の問題を解く際には、ここまで考える必要はないのですが、一般化して整理できるように準備しておきたいですね。
さて、では実際の問題をみてみましょう。
(1)は4秒後の $\triangle\mathrm{PBQ}$ なので、先程求めた $\displaystyle\frac{x^2}{2}$ に $x=4$ を代入すれば、8とすぐに求められます。
(2)も2つ目の図の場合なので、すでに求まっています。$y=3x$ ですね。
(3)についても、$2.4(18-x)$ となっているので、これを用いて
$$2.4(18-x)=12$$
から $x=13$ が求めらます。
なお、(3)については、$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積が24となることに気づけば、$\triangle\mathrm{PBQ}$ がその半分の面積となることから、PがACの中点になると考えて解くことも可能です。
大問7・空間図形（復習オススメNo.4）
難易度 標準
空間図形の問題は見た目ほど面倒ではありませんでした。
(1)のねじれの位置については問題ないでしょう。
(2)は体積比を考えていく問題です。直方体と三角錐の面積を比べることになりますが、まずはそれぞれの面積がどう表されるか確認しましょう。
直方体：底面積$\times$高さ
三角錐：底面積$\times$高さ$\displaystyle\times \frac{1}{3}$
三角錐の方は $\displaystyle\frac{1}{3}$ が入っていることを忘れないようにしましょう。
真面目に文字を設定して考えてもいいのですが、底面積、高さの各パーツの比および錐体の $\displaystyle\frac{1}{3}$ を考えていく方が簡単でしょう。
図を見れば、直方体と三角錐で、高さは等しくなるので、あとは底面積の比が分かればOKです。これも難しくないでしょう。直方体の底面積に比べると三角錐の底面積は $\displaystyle\frac{1}{4}$ となっています。したがって、体積としては直方体に比べると
$$\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$$
となることが分かります。
(3)も同じ要領で考えていきましょう。
まず、三角錐D-FGHの体積を考えます。(1)と同様に考えると、底面積が $\displaystyle\frac{1}{2}$ となるので、体積は直方体に比べて
$$$\displaystyle\frac{1}{2}\times \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{1}{6}$$
となります。次に、三角錐D-PQRの体積を考えましょう。これは、三角錐D-FGHと相似であり、相似比は1:3となります。したがって、体積比は $1:3^3$ すなわち $1:27$ となります。ということは、三角錐D-FGHから三角錐D-PQRを取り除いた部分の体積は、三角錐D-FGHの $\displaystyle \frac{26}{27}$ となるということです。以上から、色付き部分の体積は直方体の体積の
$$\frac{1}{6}\times \frac{26}{27}=\frac{13}{81}$$
となることが分かります。
大問8・平面図形（復習オススメNo.1）
難易度 標準
ラストは平面図形の問題でした。円周角を中心とした問題でしたが、まだ慣れていない人は少し難しく感じたかもしれません。そういう人は、この問題でまずは基本的な考え方を理解しておきましょう。
(1)は角の大きさを求める問題でした。与えられた条件として、$\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{CAD}$ をチェックしておきましょう。また、作図のところでも登場しましたが、直径に対する円周角は $90^\circ$ となることも常に意識しておきましょう。
このとき、$\mathrm{CA:HE=AB:EB}$ より
$\mathrm{FG}//\mathrm{AB}$ であるから解いてみての感想
問題量は多かったのですが、全体的に平易な問題が多く今回は34分で解き終わりました。今年の模試結果などを見ていると、このくらいのレベルでちょうど良いかもしれないなあと思っています。ただ、簡単ではあっても、考える意味のある問題が多いため、復習には力を入れて欲しいなあと思います。点数高かったし簡単だったからいいや、みたいに考えていると足を掬われるかもしれませんよ。
上位校狙いの人は満点に近い点数をとって欲しいところです。とくに図形分野でしっかりと得点できているかどうかがポイントになると思われます。思ったほど得点できなかったという人は、原因をきちんと分析して対策を考えていきましょう。