2022第2回石川県総合模試の数学を解いてみた

塾長
夏の終わりに第2回石川県総合模試が実施されました。夏休みの間に頑張った分の手応えはあったでしょうか? 上手くいった人もそうでなかった人も、早めに復習をやって課題をクリアしておきましょう!

総合模試を受験された受験生のみなさん、お疲れ様でした!

今回初めて受験したという人も多かったと思いますが、出来はどうだったでしょうか?

入試レベルの問題がズラリと並んでいるので難しく感じて当たり前です。今回の結果が思わしくなかったからといって、不安になる必要はありません。入試本番まではまだまだ時間があります。毎年、ここから驚くほど伸びていく中3生もたくさんいます。大事なことは、しっかりと自己分析をやって、課題を明確にすること、そして、それらを早めに克服していくことです。

というわけで、今回も「解いてみた」の記事をアップします。復習などに役立ててもらえれば幸いです。

概観

問題のセットは大問数7(小問数22)で石川県総合模試の標準的なセットでした。石川県公立高校入試でも分量はほぼ同じくらいになります。

大問1は定番の小問集合ですが、それ以外はどの問題も思考力を要する問題ばかりで、なおかつ入試同様に計算の過程や考え方を記述させる問題が多く含まれています。

石川県の公立高校入試でも同様のことが言えるのですが、石川県総合模試の数学については

試験時間内にすべてを解き切るのはかなり難しい

ということが言えます。

そのため、全部解けなかったからといって必要以上に気にすることはありません。

むしろ、全部解こうとして雑な思考になってしまう方が問題です。

パッとみてすぐに解法を思いつくまで反復練習をする

未だに上記のようなことを言っている人がいるようですが、近年の数学の入試問題では、すぐに解き方を思いつけるような単純な問題は出題されなくなってきていることは明らかです。こうした入試だけに特化した時代遅れの勉強法では、すぐに限界が来て成績が頭打ちになってしまいます。また、高校進学後に数学で苦労する生徒は、こういう勉強にどっぷりと浸かってしまったタイプが多いです。

塾長
平均点の低さが色々と物語っていると思うんです。

まずは、きちんとした数学の勉強ができているかどうかを冷静に考えてみてくださいね。

もちろん、何も準備せずにのほほんと試験に臨むのもダメです。やはり、現実的に時間配分をどうするかとか、どの問題を優先するかとか、いろいろ考えてやっていく必要があります。模試では自分なりにテーマを決めて受験していくといいでしょう。

出題内容については大きな変化はなく、前半が方程式や関数などの代数分野の問題、後半が作図を含む幾何分野の問題となっています。難問や奇問はなく、入試標準レベルの問題が中心となっています。そのため、復習をしっかりとやっておけば実力アップにつながります。模試を受験したら1週間以内には復習を終わらせるようにしておくといいでしょう。

全体的な難易度 標準

 

ここからは問題の具体的な解説となります。問題用紙を準備してご覧ください。

大問1

内容 小問集合

難易度 

大問1の小問集合では、基本的な計算力や知識を問われます。ここはどの学力層の生徒も満点を狙いたいところです。

数学が苦手な人は、まず大問1をきちんと得点できるように練習をしていくといいでしょう。

(1)は単純な計算問題しか出題されないのですが、案外ミスが多く、満点を取る生徒が思った以上に少ないように思います。

計算が苦手だったり、計算ミスが多い人は、いかに計算しないで解くかということを考えて練習してみるといいでしょう。

中学生を指導していて気になるのは、途中式がやたらと多いという点です。

塾長
途中式をたくさん書くことが丁寧な計算と勘違いしていませんか?

途中式は必要最小限に抑えることが計算を上手にやるコツです。少なくとも、(1)の計算については途中式は1つか2つで十分でしょう。常に計算の工夫などを考えて、計算の負担が少なくなるように練習をしていきましょう。

(2)は等式を $9a+3b=12$ を $b$ について解く問題です。まずは、$3a+b=4$ と簡単にして両辺に $-3a$ を加えて $b=-3a+4$ とすればOKです。

塾長
「$b$ について解く」ということがどういうことか分からなかったという人は、そもそも知識の部分が大幅に欠落しているので、問題を解く前に教科書などをきちんと読み直してくださいね。

(3)は1次関数の問題でした。$y=2x+3$ において、$x$ が $4$ から $6$ まで増加した時の $y$ の増加量を求める問題です。まずは、グラフをイメージしてみましょう。

$x=4$ のときは、 $y=11$ となり、$x=6$ のときは、$y=15$ となります。したがって、求める $y$ の増加量は $15-11=4$ となります。この手の問題で、グラフをイメージせずに計算だけで解く人もいるでしょうが、できるだけグラフをイメージして解くようにしておきましょう。

(4)は角度の問題でした。ひし形 $\mathrm{ABCD}$ ということなので、まずは

$$\mathrm{AB=BC=CD=DA}$$

を押さえておきます。さらに、$\mathrm{CD=DF=FC}$、$\angle\mathrm{DAE}=78^\circ$ となるので、結局下図のようになることがわかります。

$\triangle\mathrm{AFD}$ は $\mathrm{AD=FD}$ の二等辺三角形となるため、$\angle\mathrm{ADF}=(90-78)\times 2=24^\circ$ です。また、$\triangle\mathrm{DFC}$ は正三角形となるため、$\angle\mathrm{FDC}=60^\circ$ となります。

したがって、$\angle\mathrm{ADC}=\angle\mathrm{ABC}=60+24=84^\circ$ となります。

塾長
念の為確認しておきますが、ひし形は平行四辺形の特別な形です。

(5)は資料の整理の問題です。これはほぼ知識のみの問題です。階級値が15分ということは、10以上20未満の階級を見ればOKです。度数は8です。したがって、相対度数は $\displaystyle\frac{8}{32}=0.25$ となります。

大問2

内容 確率

難易度 

大問2は確率問題でした。大問2は確率が出題されたり、規則性の問題や統計の問題が出題されたりと、結構バラエティーに富んでいますが、いずれの問題であっても、具体例をいかに活用するかというのがポイントになります。

今回は非常に優しい問題だったので、(1)で考えたことを、そのまま(2)でも同様にやれば簡単に求められます。

(1) はとにかく具体的なものをどんどん書き出しましょう。

硬貨を投げて、表が出たらPは正の方向に2、裏が出たら負の方向に1だけ進みます。したがって、硬貨を2回投げたときの様子は以下のようになります。

1回目2回目Pの位置
$4$
$1$
$1$
$-2$

硬貨を2回投げたときは、上記のように4パターンの出方があります。そのうち、正の部分にPがくるのは3パターンです。よって、求める確率は、$\displaystyle\frac{3}{4}$ となります。

(2)は硬貨を3回投げるときにPが原点に戻る確率です。計算でやる方法もあるにはありますが、たったの3回なので、(1)と同じようにやってしまう方が良いでしょう。

1回目2回目3回目Pの位置
$6$
$3$
$3$
$0$
$3$
$0$
$0$
$-3$

硬貨を2回投げたときは、上記のように8パターンの出方があります。計算するなら、毎回、表か裏の2パターンなので$2\times 2\times 2=8$ となります。そして、原点に戻るのは3パターンです。これは表が1回・裏が2回のパターンで、表が何回目に出るかを考えると3パターンしかないことがわかります。

よって、求める確率は、$\displaystyle\frac{3}{8}$ となります。

塾長
ただ数えるだけじゃないか、と思った人もいますが、その「ただ数えるだけ」というのが数学的にはとても大事なのです。

大問3

内容 関数

難易度 標準

大問3はグラフを用いた関数の問題でした。給水と排水を行う「よくある問題」だったので、しっかり練習している人にはそこまで難しくはなかったでしょう。ただし、計算がかなり面倒なので、時間がかかったという人もいたのではないでしょうか。

また、操作がゴチャゴチャしていて面倒に感じた人もいるでしょうが、最近の入試問題では、こうした情報の込み入った問題がよく出題されるので、気を付けておきたいですね。まずは、情報を細かく分けて捉えておきましょう。

グラフと操作を交互に見ながら確認していきましょう。

① 排水管Bだけを開いて、水槽の水が20Lになるまで排水する。
② 給水管Aと排水管Bを開いて水槽の水が40Lになるまで給排水する。
③ 給水管Aを閉じてと排水管Bだけを開いて、水槽が空になるまで排水する。
④ 排水管Bを閉じて、給水管Aだけを開いて、水槽の水が60Lになるまで給水する。
⑤ ①〜④を繰り返す

(1)は①の操作から考えていけばいいでしょう。グラフを見ながら、8分間で60Lから20Lまで水の量が減っているため、40Lの水が排水されたことが読み取れます。

したがって、$\displaystyle\frac{40}{8}=5$ より、毎分5Lの水が排水されることが分かります。

(2)、(3)を考えるためには、繰り返しの周期に着目することが大切です。操作①〜④を繰り返すことになるので、④が終わった段階で1周期と考えましょう。そのときのグラフがどうなるかをまずは考えてみます。

④の操作では給水管Aだけを用いて給水するので、(1)の結果と②の操作から、給水管Aの1分あたりの排水量を求めましょう。

②では2分で20Lの水が増えています。つまり、1分で10L水が増えていますが、このとき1分で5Lの排水も行われています。そのため給水管Aの1分あたりの排水量は15Lとなることが分かります。

塾長
排水される5Lをカバーしつつ10L増やすわけなので、合計では15L給水しているわけです。

したがって、60Lを給水するには、給水管Aだけを用いると4分かかります。グラフの続きを考えれば、22分後に水槽の水は60Lに戻ります。

これで(2)はできました。なお、1周期分のグラフを作ると以下のようになります。

次は(3)です。まず、2時間30分(150分)の間に(2)の周期が何回入るかを考えます。

$$150=22\times 6+18$$

となります。6回と18分ということになります。

次に、1周期のうち、10L以下になるのがどのくらいなのかを考えます。

グラフの太い部分が該当します。まず、16〜18の2分間と、18〜ちょっとよく分からないところまでの間です。「18〜ちょっとよく分からないところ」と書きましたが、これはグラフから $\displaystyle\frac{2}{3}$ 分間であることが読み取れないとダメです。

というわけで、1周期では $\displaystyle2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$ 分あることになります。これが6回分あるので、

$$\frac{8}{3}\times 6=16$$

となります。そして、忘れてはいけないのが、$+18$ の部分です。6周期と18分あるということなので、上のグラフの18分のところまでは考えなければいけません。したがって、$+18$ のところでは、グラフからも分かるように16〜18の2分間が追加されます。

以上から、$16+2=18$ 分間であることが分かります。

塾長
関数の問題ではグラフをきちんと読むことが大切です。また、今回の問題では周期という数学でも大切な考え方に注目できたかどうかがポイントだったと思います。面倒ですが、復習をしっかりやっておきたい問題です。

大問4

内容 方程式

難易度 

今回の方程式の問題はかなり易しい問題だったので完答しておきたいところです。

まずは、1人あたりの入館料を整理しておきましょう。「高校生は小学生の2倍」などとイヤらしい書き方がされていますが、400円になるというだけの話です。

小学生200円
中学生300円
高校生400円

小中高生17人のグループの入館料の合計が4300円だったそうです。また、小学生の人数は中学生の人数の2倍ということです。

したがって、中学生の人数を $x$ 人とすれば、小学生の人数は $2x$ 人であり、あわせて $3x$ 人です。ということは、高校生の人数は $17-3x$ ということになります。

ここまで整理できたら解けたも同然ですね。

$$2x\times 200+x\times 300+(17-3x)\times 400= 4300$$

これを解けば、$x=5$ となります。

よって、中学生は $5$ 人、高校生は $17-15=2$ 人ということになります。

塾長
なお、中学生 $x$ 人、高校生 $y$ 人として連立方程式にしてもいいですが、文字が増えて面倒です。このくらいの設定であれば、文字は1つで済ませておく方が計算ミスも少なくなると思います。

大問5

内容 作図

難易度 

石川県総合模試の作図は難しい問題が多いのですが、今回はごく基本的な作図の問題でした。

「角の二等分線」「ある点から線分に垂線を引く」という基本的な作図を用いるだけの簡単な問題です。あまり解説するようなところもありません。

条件②の $\angle\mathrm{ACB}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AB}$ との交点を $\mathrm{D}$ とすると、$\mathrm{AC\perp PD}$ となる、というのを大まかにイメージしてみましょう。

このような感じになるはずです。あとは、$\angle\mathrm{ACB}$ の二等分線を作図し、$\mathrm{D}$ を求め、$\mathrm{D}$ から $\mathrm{AC}$ に垂線を引けば終了です。

塾長
二等分線が作図できない、垂線が作図できないという人は、作図の基本ができていないので、もっと易しい問題に戻って基本の確認をしておきましょう。

大問6

内容 平面図形

難易度 やや難

大問6の平面図形は、(1)、(2)は易しかったのですが、(3)がかなり大変だったのではないかと思います。(3)は飛ばしたよ、という人も多かったのではないかと想像します。

(1)については、$\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}$ の長さを求める問題です。円弧の長さを考えるということは、扇形OBCに着目すればOKです。

扇形では、中心角が重要であることは言うまでもありません。そこで、$\angle\mathrm{COB}$ を考えていきましょう。与えられた条件から、$\angle\mathrm{AOB}=90^\circ$ であるので、

$$\angle\mathrm{COB}=90^\circ-\angle\mathrm{AOC}$$

と表せます。次に、$\triangle\mathrm{ODC}$ に着目すると、$\mathrm{DC}$ が宴の接戦であることから $\angle\mathrm{OCD}=90^\circ$ となります。このとき、内角の和を考えると

$$\angle\mathrm{ODC}=90^\circ-\angle\mathrm{AOC}$$

と表せます。先ほどの式と比べると、$\angle\mathrm{COB}=\angle\mathrm{ODC}=20^\circ$ となることが分かります。

よって、求める $\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{BC}}$ の長さは、円Oの円周が $8\pi$ であることに注意して

$$8\pi\times \frac{20}{360}=\frac{4}{9}\pi$$

となります。

(2)は合同の証明です。まずは、条件を確認しておきましょう。$\mathrm{OE=OD}$、$\angle\mathrm{OFE}=90^\circ$ となります。

また、(1)の経過から、$\angle\mathrm{COB}=\angle\mathrm{ODC}$ となります。

2つの直角三角形において、斜辺と1つの鋭角が等しいことが言えるので、これで証明は完了です。

詳しい証明については解説を参考にしてください。

さて、問題の(3)を見ていきましょう。(2)の条件に加えて、$\mathrm{CF=CG}$、$\mathrm{CD=10cm}$ が加わります。その上で、$\triangle\mathrm{OGH}$ の面積を考える問題です。

この問題は、与えられた条件から、さらに新しい情報を引き出してこなければならないので、かなりの思考力が要求されます。また、どこを攻めていくかという点についても、「当たり」をつけにくい問題なので、時間をかなり取られそうな問題です。

塾長
試験本番では飛ばした人が多かったと思います。復習の際はたっぷりと時間をとって、じっくりと考えてみましょう。それだけの価値はある問題と言えます。

この問題を解く際に、どこに目をつけましたか?

いろいろな着眼点がありそうですが、私は「面積」を求める問題であることを考慮して、「長さ」に着目してみました。

実は、長さが与えられているのは $\mathrm{CD=10cm}$ と 円の半径 $\mathrm{4cm}$ だけとなります。これを(2)の結果と合わせて、長さがわかる部分を増やしていきます。

合同を利用すれば上のように、$\mathrm{FO=10cm}$、$\mathrm{OC=FE=4cm}$ が分かります。さらに、$\mathrm{CF=10-4=6cm}$ であることと、$\mathrm{CF=CG}$から $\mathrm{GD=4cm}$ となることも分かります。これで、かなり見通しが良くなるのではないでしょうか。

塾長
実際に面積を求められる三角形はどのくらいあるでしょうか?

$\triangle\mathrm{OGH}$ の面積を求めるので、これを含んでいる $\triangle\mathrm{OGF}$ に着目できれば最高です。実際に、$\mathrm{OF=10cm}$、$\mathrm{CG=6cm}$ なので、

$$\triangle\mathrm{OGF}=\frac{1}{2}\times 10\times 6=30$$

となります。あとは、$\mathrm{GH:HF}$ あたりを考えればよさそうです。しかも、図からは何となく $\mathrm{H}$ が中点っぽいですよね。

ここで、先ほどの長さが分かっている部分を再度検討します。すると、$\triangle\mathrm{DGH}$ と $\triangle\mathrm{EFH}$ が合同っぽい感じがします。$\mathrm{DG=EF}$ は分かっています。さらに、$\angle\mathrm{DCF}=\angle\mathrm{CFE}=90^\circ$ であるため、$\mathrm{DC}//\mathrm{FE}$ となります。したがって、錯角を考えて、$\angle\mathrm{DGH}=\angle\mathrm{EFH}$、$\angle\mathrm{GDH}=\angle\mathrm{FEH}$ となります。よって、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいことから、

$$\triangle\mathrm{DGH}\equiv\triangle\mathrm{EFH}$$

となります。これによって、$\mathrm{GH=HF}$ となるため、結局

$$\triangle\mathrm{OGH}=\frac{1}{2}\times \triangle\mathrm{OGF}=15\mathrm{cm^2}$$

となります。

塾長
図もゴチャゴチャしていて条件も複雑なので、(3)はかなり難しい問題でした。与えられたものと、求めるものをよく見比べながら、何を手がかりにするかをよく考えてみて欲しいなあと思います。

大問7

内容 空間図形

難易度 標準

大問7は空間図形の問題でした。この問題も(1)、(2)は易しい問題でしたが、(3)がやや面倒な問題となっていました。ただ、大問6の平面図形の問題に比べると、とっつきやすい問題ではあったかなと思います。

(1)は基本的な問題なので、とくに問題なく解けてほしいですね。$\mathrm{AB}$ と平行な辺は、$\mathrm{EF}$、$\mathrm{HG}$、$\mathrm{DC}$ の3つです。

(2)は四面体 $\mathrm{AMPQ}$ の体積から $\mathrm{AQ}$ を求める問題です。(3)でも大事になってきますが、空間図形では体積を求める問題がメインとなります。そのときに気をつけたいのは底面をどこにとるかということです。できる限り計算が容易な面を底面にとることを意識しましょう。

(2)の場合は $\mathrm{AQ}$ を求めるわけなので、やはり $\triangle\mathrm{AMP}$ を底面と見るのがいいでしょう。

$\mathrm{AP}$ は $\mathrm{AD}$ の半分の長さなので $\mathrm{4cm}$ です。また、高さは $\mathrm{DM}$ であり、これまた $\mathrm{4cm}$ です。したがって、

$$\triangle\mathrm{AMP}=\frac{1}{2}\times 4\times4=8$$

となります。ゆえに、

$$20=\frac{1}{3}\times \mathrm{AQ}\times 8$$

が成り立つので、これを解いて、$\displaystyle\mathrm{AQ=\frac{15}{2}cm}$ となります。

(3)も体積の問題です。

求める立体はよく分からない図形のように見えますが、面 $\mathrm{MBQ}$ で2つの立体に分割すると、それぞれが三角錐になります。

体積の問題では、こうしたヘンテコな図形の体積を求める問題がよく出題されますが、柱体や錐体でなければ、体積を求めるのは非常に難しいのです。なので、どうみたら面積を求められる図形になるかという視点で分割方法を考えてみましょう

塾長
もちろん、立方体から余分な部分を引くという考え方もあります。柔軟な発想で眺めてみたいですね。

さて、次に2つの三角錐について底面をどこにとるかを考えてみましょう。

色をつけた部分を底面と見ると、$\mathrm{Q-PBM}$ は $\mathrm{AQ}$ を高さと考えられます。

また、$\mathrm{M-QBF}$ は $\mathrm{BC}$ を高さと考えることができます。もうこれで解けました。

まず、$\mathrm{Q-PBM}$ の体積ですが、底面の $\triangle\mathrm{PBM}$ の面積は、正方形 $\mathrm{ABCD}=64$ から $\triangle\mathrm{ABP}$、$\triangle\mathrm{BCM}$、$\triangle\mathrm{MDP}$ を引けば求められます。長さはすべて分かっているので計算すると

$$64-\frac{1}{2}(8\times 5+8\times 4+4\times3)=22$$

となるので、$\mathrm{Q-PBM}$ の体積は

$$\frac{1}{3}\times 22\times 2=\frac{44}{3}$$

次に、$\mathrm{M-QBF}$ については、底面の $\triangle\mathrm{QBF}$ の面積が $\displaystyle \frac{1}{2}\times 8\times 8=32$ となるので

$$\frac{1}{3}\times 32\times 8=\frac{256}{3}$$

となります。したがって、求める立体の体積は

$$\frac{44}{3}+\frac{256}{3}=100$$

より、$\mathrm{100cm^3}$ となります。

塾長
(3)は一見すると、とても大変そうな問題に見えますが、適切に図形を分割することで比較的解きやすい問題に変わります。図形の問題は、こうした視点の変換が大切なので、普段の練習の時はいろいろな方法で1つの問題に取り組んでみると良いと思います。

まとめ

さて、全体をやってみた感想ですが、今回は比較的易しい問題が多かったように思います。数学が得意な人は高得点も期待できそうです。ちょっと時間がかかったなあというのが、平面図形の(3)くらいで、後は「よくある」タイプの問題でした。

ただし、全体的に計算量が多いため、無駄な計算をして時間を食われてしまった人も多かったと思います。やはり、普段から計算の工夫を考えて、計算量がなるべく少なくなるような練習をしておきたいですね。

また、図形の問題では知識が曖昧なままだという人も多いと思うので、中2内容をよく復習しておきましょう。

今後の模試では、2次関数、相似、円、三平方の定理など、入試でも頻出の内容(中3内容)がたくさん登場します。当然、問題も難しくなっていくはずなので、現時点での課題は早めに潰しておきましょう。

なお、模試の結果や判定が気になる人も多いと思いますが、あくまでも「目安」でしかありません。結果に一喜一憂するのではなく、入試に向けた準備の材料にしてくださいね。

まだまだ本番までは時間があります。1つ1つ理解を深めていくようにしましょう!

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