問題が解けているから大丈夫？
長袖＋上着でないと生きていけない感じになってきました。今年は暖冬だとか言ってましたが、本当でしょうか。寒いのが苦手な塾長としては、これ以上寒くなってくれるな！という思いで日々を過ごしています（無理だけど）。
最近、高校数学の記事を頻繁に書いていますが、書き始めると溜めていたネタがポンポン出てくるものです。面倒だからと後回しにしているとすっかり忘れてしまうので、今回は忘れないうちに記事にしていこうと思います。
今日のネタも高校1年生内容ですが、これは、以前、高2の終わり頃に数学の成績が伸び悩んでいるということで他塾から転塾してきた生徒の話になります。
今回の話は、ある生徒の話なのですが実は当塾のあるあるなんです。
こういう生徒がたくさん流れてきます。
前に通っていた塾の特徴は次のようなものです。
- 自習形式
- 分からないところは講師に質問する
- 医学部生を中心とした講師陣
その生徒は比較的よく質問をしていたようです。高校生の塾としては、地方のスタンダードといった感じです。
本人も目標があって普段からしっかりと勉強をするタイプでした。
決してサボって成績が下がりました、ということではありません。
実際に成績を見せてもらうと、高1のころは学年でも30番以内をキープし、模試の偏差値も68〜71という成績をとっていました。
ところが、高2の夏あたりから成績が下降し始めます。
高2の夏の進研模試の偏差値が63ほどになり、さらに11月には59まで下落していました。
定期テストでは何とか上位をキープできていましたが、模試ではかなり厳しい点数となっていました。
本人も焦りがあって、それまで以上に時間をかけて数学に取り組むようにしたものの、解けない問題が増えてきてちょっとしたパニックに陥ってしまったそうです。
質問をもっていってつきっきりで教えてもらい「よし理解した！」となるのだけど、実際に試験になると解けない問題がどんどん増えていったそうです。
そして、やってもやっても成績が上がらないということで、いろいろと調べていたら当塾のHPにたどり着いたそうです。
今までできていたのに、何でできなくなったのか分からない。どうしていいか分からない。
こういうケースを嫌というほど見てきた塾長は、早速いくつかの基本的な問題をやってもらうことにしました。
大体5〜6問ほどやってもらうと、その生徒の理解度が測れるのですが、今回はその中でもかなり初期に登場する問題を取り上げます。
不等式 $|x-4|\leqq 0$ を解け。
高校1年生の1学期に登場する問題です。おそらく、その生徒も当時はしっかりと解けていたと想像します。
ところが、高2の終わり頃になると解けなくなっているという人が多いのです。
実際に、その時の生徒が作った答案が以下となります。
$x-4\geqq 0$ すなわち $x\geqq4$ のとき
与えられた不等式は $x-4\leqq0$
したがって、$x\leqq 4$
$x\geqq 4$ より、解なし
$x-4<0$ すなわち $x<4$ のとき
与えられた不等式は $-(x-4)\leqq0 \Longleftrightarrow -x+4\leqq0$
したがって、$x\geqq 4$
$x<4$ より、解なし
思い切り間違えているのですが、なかなかしっかりとした答案です。
よく頑張っているなというのがわかりますね
しかし、数学の理解度という点で見れば、かなり浅いところで止まっているなというのが見えてしまいます。
おそらく、問題集などにある
絶対値記号のの外し方 $|A|=\begin{cases}A&(A\geqq0)\\-A&(A<0)\end{cases}$
のようなものを頑張って覚えてきたんだろうなあと想像がつきました。
この考え方が間違っているわけではないので、前半の「$x\geqq 4$ より、解なし」以外は問題ありません。
しかし、絶対値についてもっと理解している人であればこうした解き方にはならないはずなのです。
実際に本人に確認してみると、やはりサクシードを繰り返しやって解き方を覚えるということを推奨されていたそうです。
質問の際も「こうやって解く」ということを教えてもらっていたようで、それを類題を通して覚えるといった感じの勉強をしてきたそうです。
もちろんこうした方法でも好成績を維持する超人もいます。しかし、多くの高校生はこうした方法では途中で脱落してしまいます。この生徒もそうした大多数の中の一人でした。
この問題、ちゃんと理解している人であれば $x=4$ と何も計算せずに解が求められます。
絶対値については $|x-4|\geqq0$ が常に成り立っているので、実際には
$|x-4|\geqq0$ かつ $|x-4|\leqq0$
つまり、$|x-4|=0$ という問題と同じなのです。
さらに、その生徒が「$x\geqq 4$ より、解なし」とした部分も問題がありそうです。
なので上記のことを説明する前に聞いてみました。
連立不等式 $\begin{cases}x\leqq 0\\x\geqq0\end{cases}$ の解は？
やはり、「解なし」と答えます。なぜそう判断したのかを聞いてみると「不等式で表せない」という返答が返ってきました。
つまり、不等式において $x=4$ のように等号のみで表されるものは解になり得ない、というゆがんだ認識があるようでした。
数直線を使いながら、不等式の解とは何か、連立不等式の解とはどんなものかを説明していくと「あー、そういうことだったんだ」と深く納得できたようでした。
高1のときは確かに数直線を使って解いていたものの、単に形式的に書いていただけであまりよくわかっていなかったなあ。
ということを話していました。
そこがクリアできたので、先ほどの「$|x-4|\geqq0$ かつ $|x-4|\leqq0$」のあたりの話を具体例を交えてあれこれ話をしたら、これまた深く納得してくれたようです。
問題が解けているから分かっていると思っていましたが、全然違いました。問題を解くだけではダメなんですね。
本人も自分のやってきた勉強がほとんど数学の勉強になっていなかったことを認識したようで、それ以降は、質問の内容がガラリと変わりました。
もともと頑張っていた生徒なので「何を勉強すべきか」が見えくると、見違えるように伸びていきました。
最終的に彼は旧帝大に進学したのですが、ここだけはレアケースで、実際には、高2の終わり頃にこういう事態に陥ると志望校には届かないことがほとんどです。
問題演習は欠かせないものですが、そればかりを繰り返していると、ある問題を解くのに必要な部分のみが蓄積され、歪な形の知識を形成してしまいます。そうした状態になると、見えるべきものが見えなくなって、繋がりを欠いた脆弱なものとなってしまいます。
「解き方を覚える」というのは言ってみれば最短距離ばかりを進む勉強になります。ところが、少し遠回りする問題になると・・・そういうのが共通テストなどでも出題されるようになりました。
理解が浅ければ、少し複雑な問題になったり、ちょっとだけ見た目が変わった問題になるだけで、途端に解けなくなるという事態に陥ります。
こうした理解度を自分で測るのはとても難しいことであると分かるのではないでしょうか。
とくに数学では問題が解けているかどうかだけではなく、そこから理解度をきちんと測れる指導力のある人に見てもらうことが重要です。
つまり、変な指導を受ける前にうちの塾に来て！って話です笑。ボロボロになって来られても、できることが限られてしまうので。
