第1回石川県総合模試を受験された受験生のみなさん、お疲れ様でした！
このような入試形式の模試は初めてという人が多いでしょうから、思った以上に苦戦を強いられたという人も多かったと思います。
塾生からも、時間が足りなかったとか難しい問題が多かったといった声を聞きました。
現時点での成績はあまり気にする必要はないので、受験した人はしっかりと復習をやって実力アップに繋げていきましょう！
なお、毎年、第1回は受験者が少ないのですが、この時期から模試を受けるという方は受験に向けた意識が高い人・上位校を狙う人が多いように感じます。
概観
今回の数学は大問数が7（うち小問数23）で、石川県公立高校入試に準じたセットでした。入試での大きな変更がない限りは、問題数はほぼこのくらいの分量になると思っておきましょう。
大問1の小問集合以外は、問題集などでも良く取り上げられる典型問題から、思考力が必要とされる問題までバラエティに富んだ内容となっています。さらに、計算の過程を記述させる問題、証明などの説明を求められる問題が多いため、試験時間内に全ての問題を解き切るのはかなり難しいと言えるでしょう。
全部解けなかったことを必要以上に気にする人がいますが、「時間内に解けないのが当たり前」くらいに考えておきましょう。解くスピードを追求しすぎて雑な思考になってしまうと、後々の勉強にも悪影響があるため、現時点ではそのように考えておいてください。
また「問題を見たら瞬間に解き方を思いつけるようにすること」などという指導者もいますが、ここ最近の入試問題では解き方がすぐに分かるような典型問題はあまり出題されない傾向があります。それよりも、まずは手を動かしながら具体例を書き出したり、図をかいて考えるといったことを徹底していく方が良いでしょう。
また、模試は本番の予行練習的な意味も持っているので、時間配分や問題の優先順位などを考えながら受験することも必要です。ただ何となく受験して「できた・できなかった」で終わっていては全く意味がありません。
出題内容については、石川県公立高校入試と同様、前半は方程式や関数などの計算を中心とした代数の問題、後半が作図を含む幾何の問題となっています。
今回は、各分野とも基本から応用までバランスよく出題されており、難問・奇問はありませんでした。入試標準レベルの良問が揃っていたと言えるでしょう。それぞれの問題を通して理解を深めていけば相応の実力がつくので、復習の際は、時間を気にせずにじっくりと取り組んでみるといいでしょう。受けっぱなしにならないようにしてくださいね！
全体的な難易度 標準
問題の解説
ここからは問題の具体的な解説となります。問題用紙を準備してご覧ください。
大問1
内容 小問集合
難易度 易
基本的な計算力や知識を問う問題です。大問1はどの学力層の生徒も満点を狙っていきましょう。とくに数学が苦手な人は、実際の入試においても大問1の得点が重要となるので、できなかった部分については徹底的に復習をやっておきましょう。
(1)は単純な計算問題なのですが、案外ミスが多く、満点をとっている人は思ったより少ないように思います。
計算が苦手な人は、丁寧にやるべき部分と暗算でサクッとクリアすべき部分を明確に分けて練習をしましょう。中学生を指導していて気になるのは、途中式を書きすぎてミスする機会をわざわざ増やしている人が多いということです。途中式が多いと丁寧に解いていると勘違いする人がいますが、ほとんどの場合ただの無駄です。途中式を最小限に抑えるのが計算ミスを減らすコツなので、計算の工夫をしたり暗算力を高めるように、普段から計算に取り組んでいきましょう。計算ルール自体が曖昧な人は、まずルールの確認と徹底からですよ！
(2)は関数の問題でした。1次関数 $y=ax+b$ の $a$ と $b$ を求める問題です。
「$x$ の値が2増加すると $y$ の値は4減少し」とあるので暗算で傾き $-2$ と出せるようにしましょう。また、「$x=3$ のとき $y=-2$ である」ことと傾き $-2$ であることから、$y$ 切片が4であることも暗算して求められるようにしておきたいところです。代入して計算してもいいですが、少々面倒です。
(3)は統計の問題でした。数学でも何でもなく、ただの知識問題です。最頻値は度数の最も高いところの階級値なので、27.5分ですね。
(4)は確率の問題でした。大小2つのさいころを投げるので、目の出方は全部で36通りあり、同様に確からしいですね。大きいさいころの目の数を $a$、小さいさいころの目の数を $b$ としたときに、$3a-2b=a$ となる確率を求める問題です。わざと $3a-2b=a$ と書いてありますが、もう少し整理すると $a=b$ が成り立つような $a$、$b$ を考えるという簡単な問題になります。当然、$a=b=1$ から $a=b=6$ までの6通りがあるので、求める確率は $\displaystyle \frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ です。
(5)は角度に関する問題でした。下図の $x$ を求める問題です。
$\mathrm{AB=AC}$ と $\angle\mathrm{ABC}=32^\circ$ より、$\angle\mathrm{BAC}=74^\circ$ となります。また、$\mathrm{AD}$ が $\angle\mathrm{BAC}$ の二等分線なので、$\angle\mathrm{BAD}=37^\circ$ です。このとき、$\angle\mathrm{ADE}=69^\circ$ となるので、$x=21^\circ$ となります。このくらいのスピード感で解きたいところです。
大問2（復習おすすめNo.2）
内容 規則性
難易度 標準
大問2は規則性の問題でした。この大問2は、今回の規則性以外にも確率や統計などが出題されることもあります。
今回はマッチ棒を並べるという古典的な問題でしたが、しっかりと考えられたでしょうか。
規則性の問題では、具体的に書き出しながら規則性を見つけていきそれを数式に表して考えるという、数学のエッセンスが詰まったような重要な問題なので、手を動かしながら解くようにしましょう。今回はとくに与えられた図を見ながら考える「観察力」が試される問題でした。(1)の5番目やそれ以降の6番目、7番目なども書き出しつつ、どう変化していくかを考えていきましょう。
(1)はおそらくほとんどの人ができたのではないかと思います。図をかいてしまえばすぐにわかります。
この本数を数えると25本であることがわかります。また3番目は12本なので、差をとって13本多くなることがわかります。
(2)では $(n+2)$ 番目の図形に必要な本数が、$n$ 番目の図形を作るのに必要なマッチ棒の本数より85本多い場合の $n$ の値を求める問題です。(1)を一般化するとどうなるかということです。ここは模範解答のように図形的な変化を考えて解く方が分かりやすいと思いますが、あえて数に着目して考えてみたいと思います。
(1)では $n=3$ のときは13本となることを確認しました。$n=1$ や $n=2$ ではどうなるでしょうか。
$n=1$ のとき、1番目の図形が3本、3番目の図形が12本なので、差をとると9本です。$n=2$ のとき、2番目の図形が7本、4番目の図形が18本なので、差をとると11本です。これを表にまとまると下のようになります。
| 1番目 | 2番目 | 3番目 | … | $n$ 番目 |
| $9$ | $11$ | $13$ | … | ？？ |
表を見るとわかりますが、9から順に奇数の値をとっていくという規則が見えてきます。このとき、$n$ の場合はどう表されるでしょう。
1のときは5番目の奇数、2のときは6番目の奇数、3のときは7番目の奇数、・・・、$n$ のときは $n+4$ 番目の奇数ということになります。
このとき、$k$ 番目（$k$ は自然数です）の奇数の表し方は $2k-1$ となることに注意して $k$ に $n+4$ を代入すると $2(n+4)-1=2n+7$ となることがわかります。
よって、$2n+7=85$ を解いて、$n=39$ となります。
大問3
内容 関数
難易度 易
大問3は関数（反比例）の問題でした。上位校狙いの人は、ここで満点を取っておきたいところです。
グラフは $\displaystyle y=\frac{16}{x}\ (x>0)$ で $\mathrm{A}$ の $x$ 座標は2、$\mathrm{B}$ の $x$ 座標は4となります。
(1)はグラフ上の点で、$x$ 座標も $y$ 座標も自然数である点（格子点）の個数を求める問題でした。これは、$\displaystyle y=\frac{16}{x}$ の式から簡単に求められたのではないでしょうか。分母の $x$ を考えると、$x=1$、$2$、$4$、$8$、$16$ の5個となります。
(2)は2点A、Bを通る直線の式を求める問題でした。
条件から、A$(2,\ 8)$、B$(4,\ 4)$ であり、この2点を通る直線の式は
$$y=-2x+12$$
となります。このくらいは暗算で求めて欲しいところです。傾きは $-2$、$(4,\ 4)$ を通るので $y$ 切片は $12$ と頭の中で計算してしまいましょう。$y=ax+b$ とおいて、A、Bの座標を代入してから連立方程式を解くという方法もありますが（間違いではありません）、もっと楽に計算することを考えてください。
(3)は図形との融合問題でした。図形との融合問題では、まず図形について考えることが大切です。今回は平行四辺形を作る問題なので、ある程度の形を予想して解いていくと良いでしょう。
平行四辺形の高さについては、A、Bの $y$ 座標の差から4とすぐに求まります。Pの位置は、Aの $y$ 座標と等しいことしか分からないので、$x$ 座標を $p$ とでもしておきます。このとき、線分PQの長さは $2-p$ となります。
したがって、平行四辺形ABPQの面積が52であるとき
$$4(2-p)=52$$
となり、これを解いて、$p=-11$ となります。
大問4（復習おすすめNo.3）
内容 方程式
難易度 易
大問4も比較的易しい問題でした。ふもとから山頂までの2300mを「毎秒5mの速さで進むロープウェイ」と「毎分45mの速さで歩くAさん」との位置を考える問題でした。
(1)はサービス問題ですね。ロープウェイがふもとから山頂に行くのにかかる時間は $2300\div 5=460$ 秒なので、$420+40$ すなわち7分40秒となります。
(2)は午前9時に山頂を出発したロープウェイとAさんが出会う地点をPとしたとき、ふもととからP地点までの距離を求める問題でした。「方程式を作って求めなさい」という指定がありますが、ちょっと余計なお世話だなと思いました。実際に、この手の問題は、応用上グラフで視覚化する方が良いでしょう。
Aさんは分速45mで進みます。ロープウェイは毎秒5mなので分速では300mとなります。
このとき、ロープウェイの動きを表す式は $y=-300x+2300$、Aさんの動きを表す式は $y=45x$ となります。この2式から $x$ を消去して
$$-300x+2300＝45x$$
これを解いて、$\displaystyle \frac{20}{3}$ となり、$y=45x$ に代入すると $y=300$ となります。よって、求める答えは300mです。
大問5
内容 作図
難易度 易
大問5は作図の問題でした。今回は、与えられた条件が比較的簡単な組み合わせだったので、できた人が多かったのではないかと思います。
1つ目の条件「2点A、Bから等しい距離にある」点の集合は、線分ABの垂直二等分線となります。これは基本中の基本です。
2つ目の条件、「直線BPは $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を二等分する」については、BPはBと辺ACの中点を結ぶ直線となることが把握できれば問題ないでしょう。これもACの垂直二等分線を作図すればOKです。
以上から、上図の2直線の交点がPとなります。
大問6（復習おすすめNo.4）
内容 平面図形
難易度 標準
大問6は平面図形の問題でした。ポイントになったのはひし形の扱いですが、それほど難しくはなかったので、上位校を狙っている人は(3)までしっかりと解き切って欲しい問題でした。
このような図が与えられており、三角形 $\mathrm{ABC}$ は1辺の長さが6の正三角形で、$\mathrm{AF//BC}$ となるようにひし形 $\mathrm{ADEF}$ を作ります。
(1)は $\mathrm{AC\perp BD}$ となるときのひし形 $\mathrm{ADEF}$ の周の長さを求める問題でした。ひし形なので、各辺の長さはすべて等しくなるため、どこか1辺の長さが分かればOKです。
まず、三角形 $\mathrm{ABC}$ は正三角形（二等辺三角形でもあります）なので、$\mathrm{AC\perp BD}$ のときは、$\mathrm{AD=DC}$ となります。三角形 $\mathrm{ABC}$ の一辺の長さが6なので、$\mathrm{AD}=3$ となります。したがって、ひし形 $\mathrm{ADEF}$ の周の長さは、
$$3\times 4=12$$
となります。
(2)は $\triangle\mathrm{ABD}\equiv\triangle\mathrm{ACF}$ を証明する問題でした。
まずは、三角形 $\mathrm{ABC}$ が正三角形であることから、$\mathrm{AB=AC}$ が分かります。また、ひし形 $\mathrm{ADEF}$ の性質から $\mathrm{AD=AF}$ が分かります。あとは、2辺の間の角が等しいことを示せば良さそうです。
これも、$\mathrm{AF//BC}$ であることから、錯角に着目して $\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{CAF}$ となります。また、$\angle\mathrm{ACB}$ は正三角形の内角の1つなので、当然 $\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{BAD}=60^\circ$ です。
よって、$\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{CAF}$ が成り立つので、$\triangle\mathrm{ABD}\equiv\triangle\mathrm{ACF}$ が示せました。
(3)は $\mathrm{AF}=4$ であるとき、$\triangle\mathrm{FDC}$ の面積が $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積の何倍かを考える問題でした。ちなみに(2)の設定も引き継ぎます。また、$\triangle\mathrm{ABC}$ の1辺の長さが6であることも書き込んでおきましょう。
まずは、$\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を1として比を考えていきましょう。面積比を考える場合に大切となるのは「高さの等しい三角形」に着目することです。等しい高さを考える場合は、平行な2直線の存在が重要となります。ここでは $\mathrm{AF//BC}$ という重要な条件があるので、ここから考えていきます。
シンプルに、$\mathrm{AF}$ と $\mathrm{BC}$ をそれぞれ底辺とする $\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{AFC}$ を考えます。高さは等しいので、面積の比は底辺の比で決まります。つまり、
$$\triangle\mathrm{ABC}:\triangle\mathrm{AFC}=6:4$$
となります。したがって、
$$\triangle\mathrm{AFC}=\frac{2}{3}\triangle\mathrm{ABC}$$
となります。次に、$\triangle\mathrm{AFC}$ 内の2つの三角形 $\triangle\mathrm{AFC}$ と $\triangle\mathrm{FDC}$ に着目しましょう。この2つの三角形も高さが等しい三角形であることを確認してください。
$\mathrm{ADEF}$ はひし形なので、$\mathrm{AF=AD=4}$ であり、$\mathrm{AC}=6$ とあわせて、$\mathrm{DC=2}$ となります。したがって、
$$\triangle\mathrm{AFC}:\triangle\mathrm{FDC}=6:2$$
となるので、
$$\triangle\mathrm{FDC}=\frac{1}{3}\triangle\mathrm{AFC}$$
となります。$\displaystyle \triangle\mathrm{AFC}=\frac{2}{3}\triangle\mathrm{ABC}$ とあわせて
$$\triangle\mathrm{FDC}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}\triangle\mathrm{ABC}$$
よって、$\triangle\mathrm{FDC}$ の面積は $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積の $\displaystyle \frac{2}{9}$ 倍となります。
大問7（復習おすすめNo.1）
内容 空間図形
難易度 やや難
最後の大問7は空間図形の問題でした。(1)はサービス問題ですが、(2)、(3)と少し厄介な問題が続きました（実際は(2)は簡単ですが）。また、時間的にも空間に辿り着かなかったという人や、最初から捨てたという人もいたかもしれませんが、この問題はなかなか良い問題だったので、ぜひ復習をやっておいて欲しいと思います。
題材はシンプルな立方体でした。1辺の長さは6となっています。
(1)は面ABCDと垂直な辺を求めるという簡単な問題です。AE、BF、CG、DHの4つです。これは解説不要でしょう。
(2)は、下図のようにEF、EHの中点をM、Nとし、AMNを通る平面で切断する問題です。
このとき、2つの立体に切断されますが、大きい方の立体の表面積と小さい方の立体の表面積の差を求めよという問題でした。
大きい方の立体は下図のようになります。
なかなか厄介な形をしています。そして小さい方の立体は下のような三角錐となります。
このとき、もっとも気をつけたいことは、図の斜線部の面積は等しいということです。表面積の差をとると、この部分は相殺されるため計算する必要がないということです。ここに気づけば、あとは単純な図形の問題となります。
まずは、面 $\mathrm{AEFB}$ に着目してみましょう。大きい方の立体の表面積に含まれるのは、台形 $\mathrm{ABFM}$ で、ここから小さい方の図形の表面積に含まれる $\triangle\mathrm{AEM}$ を引くと、下図の四角形 $\mathrm{KMFG}$ （色付き部）となります。
よって、この面積は $6\times 3=18$ です。同様のことが、面 $\mathrm{ADHE}$ についても言えます。
また、面 $\mathrm{EFGH}$ についても五角形 $\mathrm{NHGFM}$ から $\triangle\mathrm{EMN}$ の面積を引くので、図の色付き部分が求める表面積に含まれます。
この面積は、$3\times 3\times 3=27$ となります。
そして、残りは $6\times 6=36$ の正方形が3枚残るので、結局、求める表面積は
$$36\times 3+27+18\times 2=171$$
となります。
(3)はかなり難しい問題でした。与えられた図に書き込んで考えていってもいいのですが、少し位置関係が把握しにくいので、角度をつけて描き直してみることをおすすめします（好みの問題ですが）。
こんな感じの図ですが、切断面が見えにくいので、私は以下のように描き直してみました。
こうすると、切断面（色付き部分）が見えて、図形の感じが捉えやすくなるのではないかと思います。ただし、切断面自体はここでは不要なので、もう少し分かりやすく書き直すと
これで、かなり見やすくなったのではないかと思います。
さて、四角錐 $\mathrm{C-PQRS}$ は底面が平行四辺形の四角錐となります。この平行四辺形の面積を求めるの現時点では難しいので、別の方法で考えていきましょう。図形の問題で、直接面積や体積が求められない場合は、適当な図形に分割するということを考えてみてください。
とくに、ここでは計算が可能な部分として、面 $\mathrm{ABCD}$ 内にある $\triangle\mathrm{CSR}$ を利用することを考えます。
図のように、三角錐 $\mathrm{C-QSR}$ を考えましょう。このとき、$\mathrm{QS}$ が四角錐 $\mathrm{C-PQRS}$ の底面の平行四辺形の対角線になっていることから、三角錐 $\mathrm{C-QSR}$ と三角錐 $\mathrm{C-PQS}$ は同じ体積になります（底面積も高さも等しいので）。したがって、三角錐 $\mathrm{C-QSR}$ の体積を2倍すれば、求める体積が得られます。
ここで三角錐 $\mathrm{C-QSR}$ の頂点を $\mathrm{Q}$と見ると、高さは $\mathrm{DC=6}$ に等しく、底面は $\triangle\mathrm{CSR}$ となります。$\triangle\mathrm{CSR}$ の面積は、
$$36\times \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 3\times 3=\frac{27}{2}$$
となります。
したがって、求める立体の体積は
$$2\times\left(\frac{1}{3}\times \frac{27}{2}\times 6\right)=54$$
となることが分かります。
まとめ
というわけで、2024年第1回石川県総合模試の数学を解いてみましたが、私はだいたい25分ほどで解き終わりました。難易度としては比較的易しい方になると思いますが、模試を受けるのが初めてという人が大多数だったと思うので、難しく感じた人が多かった思います。
やはり定期テストとは問題レベルも会場の雰囲気も異なるものとなるため、緊張から予想外のミスをしてしまった人などもいたのではないかと思います。また、時間が全然足りないと感じた人も多かったと思います。
まだまだ経験不足なわけでですから、しっかりと反省をしながら少しずつ経験値を上げていきましょう。
毎年、私が指摘しているのは、あまりにも試験対策に偏りすぎて肝心な部分がスカスカになってしまうような勉強にならないで欲しいということです。
最初にも言いましたが、「解き方を覚えてそれを使って問題を解く」というのは単なる試験の対策にすぎず、数学の勉強としてはごく一部をかじっただけのようなものとなります。そうした勉強は後でいくらでもできるので、この時期はまず正しい数学の勉強をしてもらいたいということです。基礎をしっかりと積み上げておくことで、後半の成績の伸びにつながっていくはずです。目の前の点数が気になる気持ちも分かりますが、やるべきことは正しい数学の能力を身につけるということである、というのを忘れないでください。
いずれにしても、受験勉強の第一歩を踏み出したわけですから、まずはじっくりと復習をして、今の自分に足りないものは何か、それを身につけるには何をしたら良いかを考えてみてくださいね！
