講習期間はブログを書く時間がほとんどないのですが、質問応対などで気になることが出てくることも多いので何とか書き留めておきたいですね。
先日、とある高校生から質問を受けたのですが、その際に見せてもらった別の問題の答案があるあるネタすぎて・・・ガックリきた話です。
分かっている人であれば、計算などしなくても $1$ と求められる問題なのですが、わざわざ面倒な計算をしてしまっている人を結構見かけます。
その高校生も以下のような感じで解いていました。
$$|x|=\begin{cases}x&(x\geqq0)\\-x&(x<0)\end{cases}$$
よって、求めるものは図の斜線部の面積である。
よって
\begin{align*}
\int_{-1}^{0}-x\,dx+\int_0^1 x\,dx&=\left[-\frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0+\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\&=1
\end{align*}
こういう答案を見ると、例題の解き方にしたがって解くという悪癖が染み付いて離れなくなってしまっているんだなあと感じます。
答案の中で「図の斜線部の面積」と自分で言っておきながら、わざわざ面倒な積分による計算をやってしまっています。
図を見たら一瞬で面積が1と分かるはずなのですが、どうも「面積は積分！」みたいなものが生徒の頭の中にはあるようです。
そのせいで「斜線部2つ合わせたら1辺の長さ1の正方形になる」という図が表していることが見えなくなってしまっています。
どれだけ「自分でかいた図から何か気づきませんか？」と聞いてみても
なんていう、「いや、まあ確かにそうなんですけど（その2）」のような返答がきたりします。
最終的に、図で考えたらすぐ分かるよね？と言うと
なんて聞かれることもよくあります。
インテグラルがついているから絶対に積分を計算しないといけない、なんてことはありません。
というか、基本的に数学において「〜しなければならない」といった状況はそんなに生じないはずです。
むしろ、どんな方法でも正しく求めらていればOKなのです。
にもかかわらず、解法に覚えて解くことに慣れてしまった人は、「そんな面倒なことしないけど」というようなことをやっているケースが目立ちます。
もちろん、間違ったことをしているわけではないですし正しい答えも求まっているので、一見問題はないように見えるのですが、実際には非常に浅いところで理解が止まってしまっている良い例でしょう。
こうした生徒が、トップ校の生徒の中にもどんどん増えてきているようです。