塾長からの挑戦状No.1の解答
というわけで昨日の問題の解説を作ったのでアップします。数名の方から解答と質問をいただきましたが、どんなもんでしょうかね？
問題はこちらにあります。
では早速ですが見ていきましょう。今回の問題は、
$\alpha+\beta+\gamma$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$
$\alpha\beta\gamma$
と3文字の基本対称式が出てくるので、対称式の変形を考えていけば良さそうですね。まずは、条件からこれらの値が求められそうなのでそこを攻めていきましょう。
式が長くて面倒なので以下のように置き換えます（笑）
$\alpha+\beta+\gamma=X$、$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=Y$、$\alpha\beta\gamma=Z$ とおく。
与えられた条件から
\begin{align}
\begin{cases}
X-Y=3\\
Y+Z=-2\\
X-Z=1
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
X=1\\
Y=-2\\
Z=0
\end{cases}
\end{align}
したがって
\begin{align}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=X^2-2Y\\
&=1^2-2\cdot (-2)\\
&=5
\end{align}
また
\begin{align}
&\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\
=\ &(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma\\
=\ &X(X^2-3Y)+3Z\\
=\ &1\cdot {1^2-3\cdot (-2)}+3\cdot 0\\
=\ &7
\end{align}
また、$\alpha\beta\gamma=0$ より、$\alpha\beta\gamma$ のうち少なくとも1つは0である。
このとき文字の対称性から、$\gamma=0$ としても一般性は失われない。
$\alpha\beta\gamma=0$ から得られる $\alpha\beta\gamma$ のうち少なくとも1つは0という情報は非常に重要です。こうした式の見方ができるようになっておきたいですね。また、対称式は文字を入れかえても成立するため、どれを0としても問題はありません。
よって、$\alpha+\beta=1$、$\alpha\beta=-2$ となるから
\begin{align}
&|(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)|^2\\
=\ &|-\alpha\beta(\alpha-\beta)|^2\\
=\ &(\alpha\beta)^2(\alpha-\beta)^2\\
=\ &(\alpha\beta)^2{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\\
=\ &(-2)^2{1^2-4\cdot (-2)}\\
=\ &36
\end{align}
したがって
\begin{align}
|(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)|=6
\end{align}
というわけで、こんな感じであっさりと解けた人もいれば、後半の部分で詰まった人もいると思います。
大事なことは、目の前にあることから何が分かるかということと、何が分かれば欲しいものが求まるかという視点ですね。
