対応関係を考えるということの重要性
随分と秋らしくなってきました。空気も澄んで爽やかな日々です。
頭も冴え渡っているような気がしないでもないですね。
今日は、先日の高2数学で扱った問題について少し書いておきましょう。
$2\cos^2\theta-\sin\theta-a-1=0$ $(0\leqq \theta< 2\pi)$ の解の個数を求めよ．ただし，$a$ は実数の定数とする．
大学入試では典型問題なんて言われるようなよくある問題なのですが、このくらいのレベルになると、理解度に応じてはっきりと差が出始めますね！
なんやこれ、$\theta$ に $a$ って文字使い過ぎやろ？ $\sin$ に $\cos$ まで入ってるし、面倒くさそうやな。解の個数なんて知らんわ！！
という感じで、最初から途方にくれる生徒もいたりします。
三角比を含む方程式については、まずは $\sin\theta$ なり $\cos\theta$ なりついて解いていかないとダメっていう話は高1数学で扱った内容です。
はえ〜、そうなんだー
なんて言ってる人は、きちんと数学Iに戻ってやり直してくださいね！
さて、この問題だと $\sin\theta$ と $\cos\theta$ が入り混じっているので、まずは $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ を用いて $\sin\theta$ のみの式にするのが良さそうです。
さらに、定数 $a$ が入っているので、このままだと $a$ の値とともに解も動いてしまうので個数を調べるのは大変です。
というわけで、動くものと動かないものを分けてしまいます。いわゆる定数分離というヤツですね。
$$-2\sin^2\theta-\sin\theta+1=a$$
となります。
こうすることで、解の個数は $y=-2\sin^2\theta-\sin\theta+1$ と $y=a$ のグラフの交点を調べればよいことになります。
この話も、数学Iの関数・方程式のあたりをちゃんと理解しているかどうかが大事なのよ〜
まあ、ある程度点数取れてるし大丈夫やろ！
と思っていても油断はできないわけです。
漫然と問題集を解いているだけでは気づかないこともたくさんあるので、やはり1つ1つの問題を丁寧に理解していくということは大事かなと思います。
いやはや、今日のブログは疲れました。
