たすきがけ、再び！

塾長

桜の時期の兼六園の来園者が過去最高だったという記事を見ました。駅周辺も海外の観光客の数が元に戻ってきたなあという印象です。活気が戻るのは嬉しいですが、週末の酔客だけは元に戻らなくて結構です笑<

昨日たすき掛けの記事を書いたのですが、結構長くなったので途中で切り上げました。

今日はその続きをちょっとだけ付け加えておこうかなと思います。

せっかち
君

いつまで同じ問題をやってんだよ！

そんなふうに思う人もいるかもしれませんが、1つの問題を味わい尽くすのも大切ですよ！　もう味がしないかもしれませんが笑

結果はすでにわかっていますが

$$6x^2-5x-6=(2x-3)(3x+2)$$

です。

さて、昨日は暗算で因数分解しちゃう話だったわけですが、今日はちょっとスパイスを加えて味変して解くということを考えてみます。

根本にあるのは、中学生のときに散々練習したであろう因数分解です。

$$X^2-5X-36$$

を考えてみます。これはもう、ほぼ自動で $(X-9)(X+4)$ と因数分解できる人がほとんどだと思います。

この因数分解と先ほどの $6x^2-5x-6=(2x-3)(3x+2)$ では面倒臭さがかなり変わりますが、その原因はどこにあるでしょうか？

おそらく、それが2乗の項が原因であることは容易に想像がつくと思います。

$X$ と $X$ で $X^2$ となる場合と、$2x$ と $3x$ で $6x^2$ となる場合では考える量が当然変わります。

なので、この部分をできるだけ考えなくていいようにしよう、というのが若き日の塾長が考えたことであります。

塾長

中学生の頃、授業中に暇だった塾長はこんなことばかりやっておりました。あの頃が頭脳のピークだったような気もしますね〜。今では昨日の昼ごはんさえ思い出せない始末ですよ、とほほ。

単純に考えると、6でくくってみようか！となるのですが、そうすると

$$6x^2-5x-6=6\left(x^2-\frac{5}{6}x-1\right)$$

となります。これはこれでアリかもしれません。が、やはり分数は面倒です（笑）

そこで、もうちょっと工夫して

$$6x^2-5x-6=\frac{1}{6}(36x^2-30x-36)$$

としてしまいます。勘のいい人はもう気づいたかもしれませんね。

実は先ほどの、$X^2-5X-36$ は上の式の $(36x^2-30x-36)$ において、$6x=X$ として置き換えたものとなります。

$$(6x)^2-5\cdot(6x)-36$$

のように見えたらしめたもんです。ポイントは $(6x)^2$ と平方の形になるようにしてあげることです。これによって上記のような置き換えで簡単な形の因数分解に戻すことが可能です。

塾長

慣れたら置き換える必要もなくなります。

というわけで、あとは $(6x)^2-5\cdot(6x)-36$ を $X^2-5X-36$ のように見て $(6x-9)(6x+4)$ とします。

全体としては

$$6x^2-5x-6=\frac{1}{6}(6x-9)(6x+4)$$

となります。あとは定数のくくり出しをやって $\displaystyle\frac{1}{6}$ と相殺すれば

$$6x^2-5x-6=(2x-3)(3x+2)$$

となります。メデタシメデタシ。

たすきがけのやり方を教わって、ただそれを適用しながら練習を繰り返すだけでは、このように問題を味わうことはできません。

せっかく時間に余裕のある（ない人もたくさんいるかもしれませんが）春休みなので、たまにはこうした「遊び」を取り入れてみるといいのではないかと思います。

塾長

私はたくさん問題をやるよりも、こんな感じで1つ1つの問題をとことん考え尽くす勉強をやっていました。塾での指導もこういう実体験が元になっています。

なお、こういう話をすると「他にももっといろいろな方法を教えてほしい」という人が出てきますが「与えられたものを使って解く」というだけでは数学は上達しません。自分で考えてみてこその数学です。そういう人は、この話をヒントにもう1つ話を掘り下げてみるといいかもしれませんね。