気付けばGWも終わって今日から仕事という人も多いのではないでしょうか。本当の意味での日常が戻ってくるのが待ち遠しいですが、いまはとにかく粛々と日々を過ごすしかありませんね。
というわけで、前回の挑戦状の解答です。
$55x^2+2xy+y^2=2007$ より，
$$y^2+2xy+55x^2-2007=0 \cdots(1)$$
これを満たすような実数 $y$ が存在するための条件は，(1)を $y$ の2次方程式とみたときの判別式を $D$ として $D\geqq0$ である．
したがって
\begin{align*}
\frac{D}{4}=x^2-(55x^2-2007)\geqq 0 \therefore 9(223-6x^2)\geqq 0
\end{align*}
よって，$223-6x^2\geqq 0$
ゆえに，$\displaystyle x^2\leqq \frac{223}{6}=37.1…$
$x$ は整数であるから，$x=\pm1$，$\pm2$，…，$\pm6$ である．
また，解の公式から $y=-x\pm\sqrt{-55x^2-2007}$ であるから，$y$ が整数のとき，$-55x^2-2007$ は平方数である．
これを満たすのは，$x=\pm3$ である．
$x=3$ のとき $y=36$，$-42$
$x=-3$ のとき $y=42$，$-36$
したがって
\begin{align*}
(x,\ y)=(3,\ 36),\ (3,\ -42),\ (-3,\ 42),\ (-3,\ -36)
\end{align*}
$$y^2+2xy+55x^2-2007=0 \cdots(1)$$
これを満たすような実数 $y$ が存在するための条件は，(1)を $y$ の2次方程式とみたときの判別式を $D$ として $D\geqq0$ である．
したがって
\begin{align*}
\frac{D}{4}=x^2-(55x^2-2007)\geqq 0 \therefore 9(223-6x^2)\geqq 0
\end{align*}
よって，$223-6x^2\geqq 0$
ゆえに，$\displaystyle x^2\leqq \frac{223}{6}=37.1…$
$x$ は整数であるから，$x=\pm1$，$\pm2$，…，$\pm6$ である．
また，解の公式から $y=-x\pm\sqrt{-55x^2-2007}$ であるから，$y$ が整数のとき，$-55x^2-2007$ は平方数である．
これを満たすのは，$x=\pm3$ である．
$x=3$ のとき $y=36$，$-42$
$x=-3$ のとき $y=42$，$-36$
したがって
\begin{align*}
(x,\ y)=(3,\ 36),\ (3,\ -42),\ (-3,\ 42),\ (-3,\ -36)
\end{align*}
与えられた式の形から、因数分解を考えた人も多かったと思います。きれいに因数分解することはできませんが、部分的に因数分解することで解いていくこともできそうです（やってませんがw）。
因数分解が利用できないと見た場合には、2文字の式なので、まず、どちらかの値を絞り込むと考えるのが自然な発想ではないかと思います。$x$ を絞るか、$y$ を絞るかですが、係数が1で簡単な $y$ の方程式として、必要条件で絞り込んでいくのが良いでしょう。
もちろん、このときの必要条件は「整数である」よりも広い条件「実数である」という条件です。そこを考えれば判別式の利用が思いつくはずです。これによって、$x$ の値が絞り込めます。あとは、根号内が平方数となれば $y$ も整数となることを考え、答えが求められますね。