2025年度第2回石川県総合模試の数学を解いてみた
8/24（日）に第2回石川県総合模試が実施されました。夏休みの勉強の総復習として受験した方も多かったのではないでしょうか。
第1回の模試を受験して危機感を持った人も多かったのではないかと思います。第2回は受験者数も増えるため、よりリアルな自分の現在地が確認できるのではないかと思います。復習はできるだけ早めに終わらせて、志望校合格へ向けて少しずつ準備を進めていきましょう。
入試はまだまだ先ですので、現時点での成績や判定は参考程度に考えておけばOKです。夏以降もきちんとした勉強を継続できれば、成績は必ず上がっていきます。まずは基礎をしっかりと固めていくことを優先しましょう。
概観
出題数については変化はありませんでした。大問数が7（うち小問数23）で、この形式がスタンダードです。
内容については、どの問題集でも取り上げられるような典型問題から、思考力を要求される問題まで幅広い内容となっています。また、実際の公立高校入試と同じように、計算の過程の記述や証明などの説明を求められる問題が多く含まれます。試験時間50分ですべて解くというのはなかなか難しい内容となっています。
全部解く必要はないということを念頭に置いて、解けそうな問題から手をつけていくのが基本姿勢となるでしょう。一方、数学が得意な人にとっては完答が可能な内容なので、ぜひ満点を目指してもらいたいところです。
全体的な難易度標準
問題の解説
ここからは問題の具体的な解説となります。問題用紙を準備してご覧ください。なお、単位は基本的に省略しています。
大問1
内容小問集合
難易度易
大問1では基本的な計算力や知識を問われます。今回はあまり見ないタイプの問題もありましたが、見た感じが珍しいだけで、内容そのものは非常に易しい問題が多かったです。ここをミスなく乗り切ることが重要となります。
(1)は単純な計算問題でした。オには根号の計算が出題されることが多いのですが、今回は展開の問題でした。いずれの問題もできるだけ暗算してミスを回避するようにしましょう。
(2)は簡単な1次方程式の問題でした。これは余裕で解けてほしい問題です。
\begin{align*}
4(x-4)&=x+5\\
4x-16&=x+5\\
3x&=21\\
x&=7
\end{align*}
これは解説不要でしょう。
(3)は直線の方程式を求めさせる問題で、大問1での出題は少し珍しい問題でした。この問題では、2点$(4,\ 15)$、$(-3,\ 1)$から傾きを暗算で2と求めて
\begin{align*}
y=2x-4
\end{align*}
とサッと直線の方程式を求められるようにしておきたいですね。
(4)も大問1ではあまり見かけないタイプの問題でした。図のような扇形（四分円）をABを軸に1回転させてできる立体の体積を求める問題でした。
回転後の立体は下図のような半球となります。
よって求める体積は
$$\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times \pi\times 2^3=\frac{16}{3}\pi$$
(5)は箱ひげ図をベースにした非常に易しい問題でした。範囲は $10-2=8$、四分位範囲は $8-3.5=4.5$ とすぐに求められるでしょう。
大問2
内容確率
難易度易
大問2は確率の問題でした。大問1で出題される場合は単純な問題となることが多いのですが、大問の2で出題されると少し面倒になるので、問題文をよく読み、対応関係を考えていきましょう。
どのようなタイプの問題であっても、具体的に書き出して数えるというのが確率の問題の基本です！
今回は、図のような座標と点A$(1,\ 1)$、B$(5,\ 1)$ が与えられていました。
0〜5の数字が書かれたカードを引いて元に戻すという、よくあるタイプの問題でしたね。1回目の数字を $a$、2回目の数字を $b$ として、座標平面上の点P$(a,\ b)$ を考えます。
(1)は点Pが直線 $y=-x+5$ 上の点となる場合が何通りかを考える問題でした。これは1つ1つ値を入れて考えればOKです。$x$ 座標（$a$ の値）が0〜5のときをそれぞれ考えていくと
\begin{align*}
(0,\ 5),\ (1,\ 4),\ (2,\ 3),\ (3,\ 2),\ (4,\ 1),\ (5,\ 0)
\end{align*}
の6通りとなることが分かります。
(2)は3点A、B、Pが二等辺三角形の3頂点となる確率を求めるものでした。
まずは、すべての場合が何パターンあるか数えておきましょう。$a$ が6通り、$b$ が6通りとなるので、全部で $6\times 6=36$ 通りです。
では、3点A、B、Pが二等辺三角形となる場合はどんな場合でしょうか。
これは、ABが底辺となる場合と、等辺の1つとなる場合があります。まずは、イメージしやすいABが底辺となる場合のPのパターンを考えましょう。
図の5つの点が該当します。なお、$(3,\ 1)$ の場合は直線となるのでNGです。
次にABが等辺の1つとなる場合を考えましょう。
これは少しイメージしにくいかもしれませんが、線分ABをAを中心に回転してみると状況が把握しやすいでしょう。これは $(1,\ 5)$ しかありません。同様にBを中心に回転すると $(5,\ 5)$ が条件を満たします。
したがって、全部で7通りあるので、求める確率は
$$\frac{7}{36}$$
となります。
階段を2つ用いて面積を出しているので、2で割ることを忘れないようにしましょう。
大問3
内容関数
難易度標準
大問3は1次関数の問題でした。いろいろとチェックすべきことが多く、面倒に感じた人が多かったと思います。決して難しいわけではありませんが、敬遠した人もそれなりにいたのではないかと思います。
問題文が無駄に長く、途中から読むのが嫌になりました。入試でもこの手の問題が増えているので、仕方ないのですが、もう少し数学をやらせてあげてほしいです。何の問題なんだか。
この手の問題文が長い問題では、条件をシンプルな形で整理し直すことが大切です。
60Lの水そうA、Bに20Lの水が入っています。
Aは60Lになるまで水を入れて満水になったら全部排水するという操作になります。この操作については以下のグラフが与えられています。
(1)はAの排水口から毎分何Lの水が出るかを聞かれています。グラフから30分で60L排水していることが読み取れるので、毎分2Lとすぐに分かります。
(2)は「Bのグラフをかけ」という問題です。Bの操作は毎分5Lで水を入れて60Lになったら毎分3Lで水を出し、空になったら再び毎分5Lで水を入れるというものです。
まずは、最初に20Lあるので、40Lを入れることになります。これには8分かかります。そこから60Lを毎分3Lで排水するので20分かかります。さらに、毎分5Lで60L入れるのに12分かかります。トータルでちょうど40分です。これをグラフにすると下の赤線のようになります。
$(8,\ 60)$、$(28,\ 0)$、$(40,\ 60)$ の点をしっかりと取ることが大切です。
(3)はBの水の量がAの量の2倍になる時間を求める問題です。
グラフを見て34分あたりだなと当たりをつけておきましょう。
28分のところで一旦Bがゼロになっています。ここから毎分5Lで増えます。一方、Aは28分のとき、排水を始めて18分経っているので、(1)を利用して $60-18\times 2$ から24Lとなることが分かります。
28分からカウントして $t$ 分後の水の量は、Aが $24-2t$、Bが $5t$ となるので
$$2(24-2t)=5t$$
これを解くと、$\displaystyle t=\frac{16}{3}=5+\frac{1}{3}$ となります。よって、最初からカウントすると
$\displaystyle 28+5+\frac{1}{3}$ すなわち33分20秒後というのが分かります。
直線の式を求めてもいいですが、せっかくグラフが目の前にあるのでそれを上手く利用したいところです。
大問4
内容方程式
難易度標準
大問4の方程式の問題も面倒な問題でした。
資料館が2つあって、以下のような設定があるらしいです。
| 種類 | A館券 | B館券 | 両館共通券 |
| 値段 | 100円 | 200円 | 250円 |
どれも閉館の1時間前を過ぎると値段が40円引きになるようです。
条件を簡単に整理しましょう。総枚数は350枚、Aの4枚とBの6枚が値引きされた入場券で両館共通券には値引き券はなし。両館共通券の販売数はA館券の3倍より10枚少なかった。売上総額は72600円。
あ〜面倒くさい・・・
A館券を $x$ 枚、B館券を $y$ 枚とします。両館共通券は $3x-10$ となります。そのまま式を作れば
\begin{align*}
\begin{cases}
x+y+3x-10=350\\
100(x-4)+240+200(y-6)\\
\qquad+960+250(3x-10)=72600
\end{cases}
\end{align*}
これを解くと、$x=70$、$y=80$ となります。
大問5
内容作図
難易度易
大問5は作図の問題でした。単純な問題ですが、2つ目の条件の扱いに困った人も多かったのではないかと思います。
- 点Pは辺BC上
- 点Pを中心とする円はAB、ACに接する
まずは、点Pの大体の位置を予想して円を描いてみましょう。
こんな感じです。またAB、ACとの接点とPを結ぶと、円の性質から図のようにそれぞれ直角になります。結んだ線分はどちらも円の半径であり、Pとの距離は等しくなります。
距離が等しいということから、角の二等分線が思いつけばOKです。
角の二等分線は、2直線からの距離が等しい点の集合であることをよく理解しておきましょう！
あとは $\angle\mathrm{BAC}$ の二等分線と $\mathrm{BC}$ の交点をとって $\mathrm{P}$ とすればOKです。
大問6（復習おすすめNo.2）
内容平面図形
難易度やや難
平面図形の問題は(3)の面積を求める問題で苦戦した人が多かったようです。
半径9、中心角 $75^\circ$ のおうぎ形についての問題です。
(1)は $\angle\mathrm{BOP}=35^\circ$ のときの $\overparen{\mathrm{AP}}$ の長さを求める問題でした。
これはすぐに中心角 $40^\circ$ が分かるので簡単でした。
$$18\pi\times \frac{40}{360}=2\pi$$
とすぐに求められたでしょう。
(2)は三角形合同の証明問題でした。直角三角形がベースなので非常に見やすい問題でした。
$\angle\mathrm{BOP}=15^\circ$ のとき、A、PからOBに下ろした垂線の足をそれぞれH、Iとし、$\triangle\mathrm{AOH}\equiv\triangle\mathrm{OPI}$ を証明する問題です。
まず $\angle\mathrm{AHO}=\angle\mathrm{OIP}=90^\circ$ です。さらに、円弧の半径に着目して、$\mathrm{OA=OP}$ となります。
あとは角度の条件があるので、これを利用しましょう。$\triangle\mathrm{AOH}$ の内角に着目すると
$$\angle\mathrm{HAO}=90-75=15$$
となります。また $\angle\mathrm{BOP}=15^\circ$ は最初に与えられているため、これより $\angle\mathrm{HAO}=\angle\mathrm{IOP}$ が言えます。
以上より、2つの直角三角形において、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいことから$\triangle\mathrm{AOH}\equiv\triangle\mathrm{OPI}$ となります。
(3)は(2)の図に対して、下図の色付き部の面積を求める問題でした。OPとAHの交点をJとしています。
こうした一般的でない図形の面積を求める場合は、分割、大きなものから余計なものを引く、切り貼りする、といった手法が一般的です。ここでは分割が考えられそうですが上手くいきません。そこで、切り貼りすることを考えます。
(2)がそのヒントになっています。
まず、図のHIPJの部分の面積を下図のように切り貼りします。
次に、はみ出している $\triangle\mathrm{OHJ}$ の部分を移動します。
これで、キレイなおうぎ形となりました。中心角も $60^\circ$ とすぐに分かりますね。よって求める面積は
$$9^2\pi\times \frac{60}{360}=\frac{27}{2}\pi$$
となります。
大問7（復習おすすめNo.1）
内容空間図形
難易度標準
最後の問題は空間図形でした。時間がなくてこの問題は解けなかったという人も多かったと思いますが、今回の問題の中ではいちばんの良問とも言える問題だったので、復習をしっかりとやっておきましょう。
図のような1辺6cmの立体 $\mathrm{ABCD-EFGH}$ についての問題でした。$\mathrm{M}$、$\mathrm{N}$ はそれぞれ $\mathrm{EF}$、$\mathrm{EH}$ の中点となります。
(1)はMN、ABのどちらともねじれの位置にある辺を選ぶ問題でした。これは簡単でしょう。$\mathrm{CG}$ と $\mathrm{GH}$ ですね。
(2)は切断した立体の表面積の差を求める問題でした。下図において、$\mathrm{O}$、$\mathrm{L}$ はそれぞれ $\mathrm{AD}$、$\mathrm{AB}$ の中点となります
求めるものは、五角柱 $\mathrm{BCDOL-FGHNM}$ の表面積から三角柱 $\mathrm{ALO-EMN}$ の表面積を引いた差です。
昨年度にも似たような問題がありました。
下図の断面の長方形 $\mathrm{OLMN}$（色付き部分）については、相殺されるので計算する必要がありません。無駄な計算をしないように気をつけましょう。
また、上面の表面積（底面も同じになります）については、五角形 $\mathrm{DOLBC}$ から三角形 $\mathrm{AOL}$ の面積を引くので、下図の白色部分の面積となります。
この面積は 一辺が3の正方形3つ分なので、27となります。
また、側面の正方形 $\mathrm{ABFE}$ と $\mathrm{ADHE}$ についても下図のように斜線部と白色部分が相殺されるため計算不要です。
したがって、求める面積は、正方形 $\mathrm{BCGF}$ と $\mathrm{CDHG}$（それぞれ36）と上面と底面を合わせたものとなるので
$$2\times (27+36)=126$$
となります。
(3)は図のように切断した立体の体積を求める問題でした。
総合模試の問題は、上図を適当に分割していくつかの錐体に分けて求める問題が多いのですが、今回は図を見たら、立方体から三角錐を3つ削り取ればいいことが分かります。
これは、切断する前の図に断面をかき込みながら気づかなければいけません。与えられた図だけを見ていてもダメですよ〜
図のように、三角形 $\mathrm{GMN}$ を底面とし $\mathrm{BF}$ を高さとする三角錐、三角形 $\mathrm{GNH}$ を底面とし $\mathrm{DH}$ を高さとする三角錐、三角形 $\mathrm{CBD}$ を底面とし $\mathrm{CG}$ を高さとする三角錐、この3つを立方体から引けばOKです。
が、それぞれを計算するのはあまりにも面倒です。高さはすべて6で共通しているので、底面を集めてしまえば正方形 $\mathrm{ABCD}$ となります。
三角形 $\mathrm{GMN}$、三角形 $\mathrm{GNH}$ はそれぞれ正方形の $\displaystyle\frac{1}{4}$、$\mathrm{CBD}$ は正方形の $\displaystyle\frac{1}{2}$ となることを確認しましょう！
よって、求める体積は
$$6^3-\frac{1}{3}\times 6^3=6^3\times \frac{2}{3}=144$$
となります。
まとめ
第2回石川県総合模試を解いてみましたが、実際にかかった時間は20分ほどでした。特に後半の図形は思った以上に易しかったのでサクサクと解けてしまいました。個人的には、関数のところ問題文が非常に面倒に感じましたね笑
とはいえ、中学3年生にとってはなかなか手こずりそうな問題が多く、平均点もいつも通りのラインに落ち着くのではないかと思います。数学が得意な生徒は時間内で解き切れたと思うので、高得点が期待できそうです。
夏休みが終わり2学期がスタートしますが、特に数学では中3の夏以降に扱う図形の内容がとても重要となります。これは入試に限った話ではなく、高校進学後にも大きく影響します。入試においては、図形の問題は時間の関係で後回しにされがちですが、普段の勉強ではたっぷり時間を使って試行錯誤する経験を積んでもらいたいなあと思います。
