2026年度石川県公立高校入試「数学」解説

(1)の計算はノーミスでクリアしたい問題です。

ア $-7+3 = \boldsymbol{-4}$
イ $-4^2+6\div(-3) = -16 - 2 = \boldsymbol{-18}$
ウ $\dfrac{14}{3}a^3b^2 \div 7ab^2 = \boldsymbol{\dfrac{2}{3}a^2}$
エ $\dfrac{4x-2y}{5} - \dfrac{x-y}{3} = \dfrac{12x-6y-5x+5y}{15} = \boldsymbol{\dfrac{7x-y}{15}}$
オ $\sqrt{54} \div \sqrt{2} + \sqrt{48} = 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = \boldsymbol{7\sqrt{3}}$

このくらいの計算量で切り抜けたいところです。丁寧にやりすぎてもミスを誘発するので、適度に暗算しながらやりましょう。

(2)は単純な2次方程式の問題でした。

$$x^2-3x-4=0\Longleftrightarrow (x+1)(x-4)=0$$

よって、$x=-1$ または $x=4$ となります。

(3)は角度の問題でした。外角の和が常に $360^\circ$ であることを利用します。

$360-(106+60+85)=180-x$ となるので、$x=71$ が得られます。よって、$71^\circ$ です。

塾長

ちなみに、多角形の外角の和が $360\circ$ になることは証明できますか？

(4)は平方根のよくある問題でした。$\sqrt{13-a}$（$a$は自然数）が整数になるには、ルートの中身 $13-a$ が自然数の平方数（$0$、$1$、$4$、$9$、$16\dots$）である必要があります。$a$ は自然数なので $13-a < 13$ です。よって該当する平方数は $0$、$1$、$4$、$9$ となります。

• $13-a = 0 \Rightarrow a=13$
• $13-a = 1 \Rightarrow a=12$
• $13-a = 4 \Rightarrow a=9$
• $13-a = 9 \Rightarrow a=4$

したがって、$a$ は4、9、12、13となります。

(5)はデータの分析と確率の問題でした。

中央値が5という条件から、下図のように4と6が定まります。また、8のカードは6枚です。

したがって、6は全部で4枚あることが分かります。次に、1枚引いたとき、4と6をひく確率は $\dfrac{3}{10}$ なので、4が $a$ 枚であるとすると
$$\dfrac{a+4}{20}=\frac{6}{20}$$
が成り立ちます。これを解いて、$a=2$ となります。

(1)は上から7行目、左から4番目の数を求める問題でした。まずは、上から7行目を考えましょう。

規則としては、1行目の1から10ずつ増えていくので、7番目は上図から $31+30=61$ となります。

次に、左から4番目を考えます。同様に、61から2ずつ増えていくので $61+6=67$ となります。

(2)は枠で囲まれた部分における関係を考える問題でした。下図のように囲まれた3つの数の関係を考えます。

図3のように $a$、$b$、$c$ を設定すると、$a$ は奇数なので $n$ を自然数として $2n-1$ と表せます。このとき、(1)で考えた規則から、$b=a+2=2n+1$、$c=a+10=2n+9$ となります。よって

\begin{align*}
bc-a^2&=(2n+1)(2n+9)-(2n-1)^2\\
&=24n+8\\
&=8(3n+1)
\end{align*}

となることから、$bc-a^2$ は8の倍数となることが分かります。

(2)はグラフを用いた問題でした。

Bのグラフを書き込んでいくと、上の赤線となります。$5\leqq x\leqq10$ では傾きが12なので、5分で60増えます。したがって、$(10,\ 90)$ まで直線で結び、さらに $10\leqq x\leqq15$ では傾きが30なので、5分で150増えます。したがって、$(15,\ 240)$ まで直線で結びます。グラフが正確に描けていれば、これだけで $x=14$ が読み取れます。

図形を用いると、検算も簡単です。

$10\leqq x\leqq15$のAとBのグラフを抜き出すと上図のように相似な三角形が見えてきます。相似比は$4:1$なので、$10\leqq x\leqq15$ の範囲を5分割すれば、$x=14$ がすぐに確認できます。

(3)は面倒に感じるかもしれませんが、条件を1つ1つ整理していけば、難しくはありません。

通話が10分のとき、AとCの料金が一致するので

$$5a+5(a+6)=150$$

これより、$a=12$ が分かります。

さらに通話が20分のとき、料金は $\mathrm{A<D<C}$ となります。Aの料金は300、Cの料金は $5\times 12+15\times (12+6)=330$、Dは $10b$ となるので

$$300<10b<330$$

したがって、$30<b<33$ となります。

文章が長く、面倒に感じたかもしれませんが、非常にシンプルな問題でした。必要な情報は表と、以下の条件です。

• 新聞は段ボールの1.5倍
• 新聞と段ボールと雑誌の合計は1360
• 金額は8900円

段ボールを $x$ とすると、新聞は $1.5x$、雑誌は $1360-2.5x$ となります。

$$8x+10.5x+5(1360-2.5x)=8900$$

これを解くと、$x=350$ となります。

よって、段ボール350、新聞紙525、雑誌485となります。

大問5は作図の問題でした。与えられた条件を正しく言い換えられたかどうかがポイントです。

条件「点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{AC}$ が $\mathrm{BC}$ に重なるように折ったときの折り目の線分上にある」はどう言い換えられるでしょうか。

実際に折ってみると分かりますが、折り目の線分は $\angle\mathrm{ACB}$ の二等分線となります。

また、$\triangle\mathrm{PBC}$ の面積が $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積の $\dfrac{1}{2}$ となることから、高さが半分になることが分かります。これは、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ に垂線を下ろし、その交点を $\mathrm{D}$ としたときに、$\mathrm{AD}$ の垂直二等分線上に $\mathrm{P}$ があると言えます。

したがって、$\angle\mathrm{ACB}$ の二等分線と $\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線の垂直二等分線の交点が $\mathrm{P}$となります。

(1)は円に内接する正三角形の問題です。これは、$120^\circ$ と瞬殺したい問題です。

円周角 $60^\circ$ から求めてもいいですし、$360^\circ\div3$ と考えてもいいでしょう。

(2)は合同の証明でした。条件として $\angle\mathrm{AFE=60^\circ}$ があるので、角度を中心に考えましょう。もちろん、正三角形なので等しい辺にも意識を向けつつです。

$\triangle\mathrm{ABD}$ と $\triangle\mathrm{BCE}$ において、まずは $\mathrm{AB=BC}$ です。また、$\angle\mathrm{ABD}=\angle\mathrm{BCE}$ もすぐに分かります。残りは、使っていない角の条件があるので、$\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{CBE}$を狙いましょう。

$$\angle\mathrm{BAD}+\angle\mathrm{ABF}=60^\circ$$
$$\angle\mathrm{CBE}+\angle\mathrm{ABF}=60^\circ$$

が成り立つので $\angle\mathrm{BAD}=\angle\mathrm{CBE}$ となります。

したがって、$\triangle\mathrm{ABD}\equiv \triangle\mathrm{BCE}$ が示せました。

(3)はパッと見では難しそうに見えるかもしれませんが、計算量が少なく、単純な図形のみを考える問題なので、やってみると案外な問題でした。$\triangle\mathrm{ABC}$が正三角形であることを忘れないようにしましょう。

ここも、条件「弧 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{H}$ を、$\mathrm{CH\perp AB}$ となるようにとる」というところから、$\mathrm{H}$ が弧 $\mathrm{AB}$ の中点になることが把握できてばOKです。これによって、$\angle\mathrm{BCH}=\angle\mathrm{HCA}=\angle\mathrm{ACG}=30^\circ$ となり、
$$\triangle\mathrm{BCH}\equiv\triangle\mathrm{HCA}\equiv\triangle\mathrm{ACG}$$
となります。

$\mathrm{H}$ から $\mathrm{BC}$ に垂線を下ろし、交点を $\mathrm{I}$ とすると、$\triangle\mathrm{HIC}$は $90^\circ$、$60^\circ$、$30^\circ$ の有名な直角三角形となります。$\mathrm{HC}=5$ より、$\mathrm{HI}=\dfrac{5}{2}$ となるので、
$$\triangle\mathrm{BCH}=\frac{1}{2}\times 5\times \frac{5}{2}=\frac{5\times 5}{4}$$
となります。これより、五角形 $\mathrm{BCGAH}$ の面積は $\dfrac{5\times 5}{4}\times 3$ となります。
したがって、求める面積は五角形 $\mathrm{BCGAH}$から $\triangle\mathrm{BCG}$ を引いたものとなるので
\begin{align}
&\frac{5\times 5\times 3}{4}-\frac{1}{2}\times 5\times 5\\
=\ &\frac{5\times5\times 3-5\times 5\times 2}{4}\\
=\ &\frac{25}{4}
\end{align}

(1)は 面 $\mathrm{BFGC}$ と垂直な辺を考える問題でした。

これは、$\mathrm{AB}$、$\mathrm{DC}$、$\mathrm{EF}$、$\mathrm{HG}$ と即答したい問題です。

(2)は図の四角形 $\mathrm{OAEC}$ が台形となるときの、面積を求める計算です。台形となるのですが、明らかに $\mathrm{OA//CE}$ となることは先に確認しておきましょう。

問題は、台形の高さなのですが、どこが垂直になるかを考える必要があります。
まず、面 $\mathrm{ABCD}$（正方形）において、対角線 $\mathrm{AC}$ は $6\sqrt{2}$ となります。

さらに、$\triangle\mathrm{ACO}$ について、下図のような関係が成り立ち、$\triangle\mathrm{AOC}$ は直角二等辺三角形となります。

したがって、台形 $\mathrm{OAEC}$ については、錯角を考えると $\triangle\mathrm{AEC}$ も直角二等辺三角形であり、$\mathrm{EC}=12$ となります。

以上から、求める台形の面積は
$$\frac{1}{2}\times (6+12)\times 6=54$$

(3)は非常に面倒に見えますが、底面積の比と相似比から体積比を求めていくだけで、実はとても簡単な問題でした。

四角錐 $\mathrm{O-PQRS}$ を介して考えていきます。

まずは、四角錐 $\mathrm{O-PQRS}$ と 四角錐 $\mathrm{O-EFGH}$ は相似であり、相似比は $2:5$ となります。

したがって、体積比は $2^3:5^3=8:125$ となります。よって、四角錐 $\mathrm{O-PQRS}$ と立体 $\mathrm{PQRS-EFGH}$ の体積比は $8:(125-8)=8:117$ となります。

また、四角錐 $\mathrm{O-PQRS}$ と 四角錐 $\mathrm{O-ABCD}$ については、高さが等しい錐となるので、底面積の比がそのまま体積比となります。$\mathrm{AB}=10$、$PQ=4$ であり、底面はそれぞれ正方形であることから、四角錐 $\mathrm{O-PQRS}$ と 四角錐 $\mathrm{O-ABCD}$ の体積比は
$$4^2:10^2=8:50$$
となります。

以上から、四角錐 $\mathrm{O-ABCD}$ と立体 $\mathrm{PQRS-EFGH}$ の体積比は
$$50:117$$