先週は春の訪れを感じる日が多かったので気分も上々だった塾長ですが、また雪の降る日が続いているため、せっかく上がった気分も急降下中です。ああ、寒いのは嫌だな〜。
ということで、昨日は頭の体操としてちょっとした問題を出してみました。案の定、アクセス数が激減しています（笑）
うちの塾は一応数学専門塾なので、数学に関するきちんとした内容のブログをたまに書いてみるのですが、面白いくらいアクセス数が減ります。ま、そういうのは求められていないというのは分かっているのですが、少し寂しいですね。はっはっは、とても寂しいですね・・・
やっぱり「今年の高校入試ボーダーライン予想」とか「倍率から高校入試を予想する」とか「試験までの1週間の過ごし方」のようなものがクリックされやすいのです。分かっていますが、そんなのちっとも面白くないし、テキトーな情報を垂れ流すくらいなら、ちゃんとした記事を書きたくなるってもんです。
というわけで、アクセス減ニモマケズ・・・サウイフモノニ ワタシハナリタイ。
22個の整数の積が1となっている。これらの整数の和は0にならないことを示しなさい。
挑戦してみたよ〜という人はいかがだったでしょうか？
もしかすると今年の入試にも出題されるかもしれません（多分出ません）ね！！
というわけで、実際に考えてみましょう。
整数の積が $1$ となることから、22個の整数は $-1$ か $1$ のいずれかになります。
このとき、$-1$ が奇数個含まれるとすると、積は $-1$ となってしまうためダメです。
したがって、$-1$ は偶数個含まれることが分かります。
また、和が $0$ となるためには、$-1$ と $1$ が11個ずつ含まれなければなりません。
しかし、これは $-1$ が偶数個含まれることに矛盾します。
したがって、22個の整数の積が1となるとき、これらの和が0になることはあり得ません。
このとき、$-1$ が奇数個含まれるとすると、積は $-1$ となってしまうためダメです。
したがって、$-1$ は偶数個含まれることが分かります。
また、和が $0$ となるためには、$-1$ と $1$ が11個ずつ含まれなければなりません。
しかし、これは $-1$ が偶数個含まれることに矛盾します。
したがって、22個の整数の積が1となるとき、これらの和が0になることはあり得ません。
1つ1つ検証していけば、何ていうことはない問題です。
ところが、実際にはこの「1つ1つ検証する」ということを疎かにしてしまう人が結構多いのです。
問題で最初に与えられている条件をきちんと考察することは当たり前のことですが、当たり前のことゆえに軽視されてしまう部分です。
入試を直前に控えて、あれこれ問題に挑戦している人もいると思いますが、問題に詰まった時は全ての条件をもう一度見直してみるということが大切です。