統一テストから日も経っていない中、総合模試を受験したみなさん、お疲れ様でした！
毎年11月から模試の受験者も増えてきます。それに伴い、志望校に対する自分の位置というのがリアルに見えてくる時期です。周囲の受験生と比較して、自分の現在地はどうなのか、ここからどういうことをやっていくべきか、そうした判断をしていく上でも、統一テストと総合模試は重要な試験となってきます。
今年度は金沢市統一テストが非常に簡単だったので、総合模試の問題が余計に難しく感じたかもしれません。統一テストでは、基本的な内容の理解を問われる問題が多かったのですが、総合模試は問題に対するアプローチを問われるテストだったと言えるでしょう。似たような問題も出題されていました。単に解けた・解けなかったという2択のような雑な分析ではなく、どこまで考えることができていたかを細かくチェックしておきたいですね！
概観
今回も、いつも通りの大問数7（小問数22）で石川県総合模試の標準的なセットでした。
試験時間50分ですべて解き切るのは難しいというのがいつもの石川県総合模試なのですが、今年度は難易度が低めに設定されており、数学が得意な人は時間内に解き切れるような問題構成となっています。しかし、それでも平均は40点台後半〜50点台前半になることが多いため、一般的には難しいテストであることに変わりはありません。数学に自信のある人は満点を狙っていってほしいですが、そうでない人はできる問題で確実に得点を取ることがポイントとなります。数学が本当に苦手だという人は、まず大問1を落とさないようにしておくことが大切です。
なお、今回は前半の代数分野が易しい問題ばかりだったので、ここで得点できたかどうかが得点に影響を与えそうです。後半の幾何分野はやや難しめの問題が多くなるので、(1)、(2)を落とさないことを心がけましょう。
出題内容は毎回ほぼ固定です。前半が関数・方程式を中心とした代数、後半が作図・平面図形・空間図形という幾何の出題です。難問や奇問はなく、入試標準レベルの問題が中心となっています。復習をしっかりとやれば実力アップにつながるので、受験後1週間以内には復習をやってしまいましょう！
全体的な難易度 標準
ここからは問題の具体的な解説となります。
大問1
内容 小問集合
難易度 易
大問1は満点を目指していきましょう。志望校のレベルに関わらず、大問1をきちんと得点できなければ数学の点数は悲惨なことになります。まずは、ここで得点できるように、基本的な計算の規則、知識事項の整理をやっておくことが大切です。
(1)は根号を含む計算をいかにスマートに乗り切るかです。$\sqrt{96}$ などは $\sqrt{16\times 6}$ とすぐに見えて欲しいところです。$\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ もわざわざ計算せずとも $5\sqrt{6}$ と見えて欲しいですね。オの計算は
$$\sqrt{96}-\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=-\sqrt{6}$$
と途中式なしで片付けてしまいたい問題でした。
(2)は $3x^2-6x-108=9x$ という2次方程式を解く問題です。まずは、$x^2-2x-36=3x$ としたくなります。ここから
$$x^2-5x-36=0\Longleftrightarrow (x+4)(x-9)=0$$
とすぐに暗算してしまって、$x=-4$ または $x=9$ を素早く計算しましょう。
(3)も典型問題です。すぐに代入するのではなく計算をラクにすることを考えてやりましょう。$a+b=6$ や $a-b=-2\sqrt{5}$ は暗算ですぐに出せるはずなので、
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
と変形できることから、$-12\sqrt{5}$ がすぐに求められます。
(4)は球の問題です。統一テストでも球の問題がありましたね。これは半径 $2\mathrm{cm}$ と問答無用で答えを出したいですね。計算なんてしているような問題ではないです。
(5)は度数分布表の問題でしたが、四分位範囲を求めるというちょっと変化球な問題でした。が、とくに問題はなかったのではないでしょうか。少ない方から10人目、多い方から10人目を確認していけばすぐですね。第1四分位数は2とすぐに求められます。第3四分位数がちょっと面倒ですが、多い方から10人目がちょうど4、11人目が3となるので、第3四分位数は3.5です。したがって、$3.5-2=1.5$ となります。
大問2
内容 確率
難易度 易
大問2は確率の問題でした。1、3、5、7の数字が1つずつ書かれた4枚のカードから何枚かを同時に取り出すという典型的な問題でした。あまり難しいことは考えずに、全部書き出してみながら考えていきましょう。
(1)は2枚同時に取り出す設定です。まずは全体を数えてみましょう。取り出す数の組は
（1、3）（1、5）（1、7）（3、5）（3、7）（5、7）
の6通りがあります。このうち数の和が12の約数となるものは
（1、3）（1、5）（5、7）の3通りとなります。
(2)は少し設定が変わります。7のカードを0のカードと入れ替えます。さらに、カードを1枚ずつ、もとに戻さずに続けて3回取り出し、以下の規則にしたがって3桁の整数を作ります。
- 1番目に取り出したカードに書かれた数が0のときは、0を一の位、2番目に取り出したカードに書かれた数を十の位、3番目に取り出したカードに書かれた数を百の位とする3桁の整数をつくる。
- 1番目に取り出したカードに書かれた数が0以外のときは、1番目に取り出したカードに書かれた数を百の位、2番目に取り出したカードに書かれた数を十の位、3番目に取り出したカードに書かれた数を一の位とする3けたの整数をつくる。
このとき、つくった3けたの整数が500以上となる確率を求める問題です。
まずは、全体を数えましょう。最初に袋にあるのは4通り、2回目に取り出す時は1つ取り出した後なので、残りの3通り、3回目は2通りとなります。したがって、$4\times 3\times 2=24$ 通りの取り出し方があります。
このうち、1番目に0を取り出す場合にできる整数が500以上となるのは、3番目に5を引くので
（0、1、5）(0、3、5)
の2通りがあります。また、1番目に0以外を引く場合は、その数は5でないとダメで
（5、0、1）（5、0、3）（5、1、0）（5、1、3）（5、3、0）（5、3、1）
の6通りがあります。したがって、求める確率は
$$\frac{2+6}{24}=\frac{1}{3}$$
となります。
大問3
内容 関数
難易度 易
大問3は2次関数の問題でした。図形との融合問題でしたが非常に易しい問題でした。
①の $y=ax^2$（$a>0$）と②の $y=-x+12$ のグラフを考える問題です。①と②の交点のうち正の方をA、②と $y$ 軸との交点をBとします。
(1)は $y$ の変域（値域）の問題です。グラフをイメージすれば一発でしょう。
$0\leqq y\leqq 16$ となります。
(2)は $\triangle\mathrm{BOA}$ の面積から $a$ の値を求める問題です。これもまずはグラフをかいて考えていきましょう。
線分 $\mathrm{BO}$ の長さは $\mathrm{B}$ の $y$ 座標から $12$ と分かります。このとい、$\mathrm{A}$ から 線分 $\mathrm{BO}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、$\triangle\mathrm{BOA}$ の面積は $\displaystyle \frac{1}{2}\times 12\times \mathrm{AH}$ で求まります。$\triangle\mathrm{BOA}$ の面積は $36$ なので $\mathrm{AH}=6$ となります。これは $\mathrm{A}$ の $x$ 座標と一致します。したがって、①の式に $x=6$ を代入することで $\mathrm{A}$ の$y$ 座標 $y=6$ が求まります。
あとは、これを $y=ax^2$ に代入して $6=36a$、すなわち $\displaystyle a=\frac{1}{6}$ となります。
(3)は点 $\mathrm{A}$ から $x$ 軸にひいた垂線と $x$ 軸との交点を $\mathrm{C}$ とし、四角形 $\mathrm{BOCA}$ の面積が $\mathrm{40}$ のときの $a$ の値を求めよという問題です。これも、まずはグラフをかいて考えていきましょう。
四角形 $\mathrm{BOCA}$ が台形となることはすぐにわかるでしょう。線分 $\mathrm{BO}$ の長さは $12$ となるので、あとは $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{OC}$ の長さが分かればできそうです。
$\mathrm{C}$ の $x$ 座標を $t$ とすると、$\mathrm{A}$ の座標は $(t,\ -t+12)$ となります。このとき、$\mathrm{AC}=-t+12$、$\mathrm{OC}=t$ となり、台形の面積は
$$\frac{1}{2}\times \{12+(-t+12)\}\times t=40$$
となります。これを整理すると $(t-4)(t-20)=0$ となります。$t=20$ となると、線分 $\mathrm{AC}$ が存在しなくなるので、$t=4$ となります。このとき、$\mathrm{A}$ の座標は $(4,\ 8)$ となり、これを $y=ax^2$ に代入して
$$8=16a \Longleftrightarrow a=\frac{1}{2}$$
となります。
大問4
内容 方程式
難易度 易
今回の方程式は、円グラフをもとに考える問題でした。まず、与えられた条件は「ある中学校の3年生は男子生徒が女子生徒より5人多い」「Aを希望した生徒は、男女合わせて22人」というものです。あとは以下の2つの円グラフが与えられています。
男子生徒を $x$ 人とすると、女子生徒は $x-5$ となります。Aを希望した人が男女合わせて22人ということなので
$$0.2\times x+0.1\times (x-5)=22$$
これを解くと $x=75$ となります。したがって、男子75人、女子70人となります。
大問5
内容 作図
難易度 やや難
大問5は作図の問題でしたが、②の条件の扱いで戸惑った人が多かったのではないでしょうか。
①点Pは、対角線AC上にある。
②点Qは線分CP上、点Rは辺AD上、点Sは辺BC上にあり、四角形PQRSは正方形である。
大事なのは、やはり四角形PQRSが正方形であるということでしょう。これをどう考えるかがポイントでした。
正方形であることを直接考えるのは難しい（辺の長さが分からない）ので、すこし条件をゆるめて「ひし形である」ということから考えてみます。ひし形の場合は対角線がそれぞれの中点で直交するという性質があるので、これを利用できそうです。ACの垂直二等分線を作図すればOKです。
そうすると、下図のようにRとSがすぐに求められます。
あとは、ACとRSの交点を中心にして、RまたはSをAC上に移せばPが得られます。
大問6
内容 平面図形
難易度 標準
大問6の平面図形は、(3)がすこし面倒な問題でしたが上位校狙いの人はサクッと解きたい問題です。
$\angle\mathrm{ABC}=90^\circ$ の直角二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ が与えられています。$\mathrm{M}$ は 線分 $\mathrm{AC}$ の中点であり、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{AM}$ 上の点で、$\mathrm{A}$、$\mathrm{M}$ のいずれにも一致しない点です。
(1)は $\angle\mathrm{PBM}=22^\circ$ のときの $\angle\mathrm{APB}$ の大きさを求める問題です。
$\mathrm{M}$ は 線分 $\mathrm{AC}$ の中点なので、二等辺三角形の性質から $\angle\mathrm{BMA}=90^\circ$ がすぐに分かるでしょう。したがって、外角を考えて $\angle\mathrm{APB}=90^\circ+22^\circ=112^\circ$ となります。
(2)は、$\angle\mathrm{PBQ}=90^\circ$ の直角二等辺三角形 $\mathrm{PBQ}$ を下図のように作るとき $\triangle\mathrm{AQB}\equiv\triangle\mathrm{CPB}$ であることを証明する問題です。
$\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{PBQ}$ が直角二等辺三角形であることを考ればとても簡単な証明ですね。
$\mathrm{AB=CB}$、$\mathrm{QB=PB}$ であり、$\angle\mathrm{ABQ}=\angle\mathrm{CBP}=90^\circ-\angle\mathrm{ABP}$ なので、$\triangle\mathrm{AQB}\equiv\triangle\mathrm{CPB}$ です。
(3)は(2)の設定を引き継いだ上で下図のように $\mathrm{R}$ をとります。さらに、$\mathrm{AP=MP}$、$\mathrm{AC=12}$（単位は省略します）とするときの、$\mathrm{QR}$ の長さを求める問題です。
図を描いてみたらすぐに $\mathrm{QR=15}$ と分かった人もいたと思います。
まず、$\mathrm{M}$、$\mathrm{P}$ がそれぞれ $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{AM}$ の中点であることから、$\mathrm{CM=AM=6}$、$\mathrm{AP=MP=3}$ が分かります。(2)から $\triangle\mathrm{AQB}\equiv\triangle\mathrm{CPB}$ なので、$\mathrm{AQ=CP=9}$ も分かります。
あとは $\mathrm{AR}$ が分かればOKです。これも図を見て、次の三角形に着目しましょう。
$\mathrm{AP=MP}$ はすでに分かっています。また、$\triangle\mathrm{ABC}$ は直角二等辺三角形なので、$\angle\mathrm{BAC}=\angle\mathrm{BCA}=45^\circ$、また $\triangle\mathrm{AQB}\equiv\triangle\mathrm{CPB}$ より $\angle\mathrm{BAQ}=\angle\mathrm{BCP}=45^\circ$ となります。したがって、$\angle\mathrm{QAP}=\angle\mathrm{RAP}=90^\circ$ が言えます。
よって、図のように対頂角も考慮すれば $\triangle\mathrm{RAP}\equiv\triangle\mathrm{BMP}$ が分かります。さらに、$\triangle\mathrm{AMB}$ も直角二等辺三角形なので、$\mathrm{AM=BP=6}$ となり、$\mathrm{AR=6}$ が得られます。
以上から、$\mathrm{QR}=9+6=15$ となります。
大問7
内容 空間図形
難易度 標準
最後は空間図形の問題でした。これも(3)が少し面倒なだけで、例年の問題に比べるとかなり易しくなっています。空間が苦手な人は、(3)の立体の形が捉えにくかったと思います。そういう場合には自分の手で描き直してみることをオススメします。描きながら気づくこともいくつかあると思いますよ！
(1)は平行な辺を求める問題でした。AB、DC、EF、HGがすぐに分かりますね。
(2)は三角柱の表面積を求める問題で、昨年度の第5回よりもかなり易しい問題となっていました。三角柱AEP-BFQの表面積ですが、$\triangle\mathrm{AEP}$ の面積は
$$\frac{1}{2}\times 8\times 6=24$$
となります。また、$\triangle\mathrm{BFQ}$ は $\triangle\mathrm{AEP}$ と合同なので、こちらも $24$ となります。
また、四角形 $\mathrm{ABFE}=8\times 8=64$、$\mathrm{APQB}=6\times 8=48$、$\mathrm{PEFQ}=10\times 8=80$ となるので
$$24+24+64+48+80=240$$
となります。
(3)は少々面倒な問題でした。現時点では模範解答のように立方体から不要な立体を削り取っていくのが良いでしょう。
与えられた図が見にくいという人は、必ず自分の手で図を描き直しましょう。
まずは線分 $\mathrm{PQ}$ を $\mathrm{G}$ を通るように平行に動かして切断します。このときの断面は上の色付き部分となります。切り取られる三角柱の体積は、$\triangle\mathrm{QCG}$ を底面とすると立方体の体積の $\displaystyle \frac{1}{4}$ となることがすぐに分かるでしょう。
次に、線分 $\mathrm{PB}$ を $\mathrm{E}$ を通るように平行に動かして切断します。
切り取られる三角錐の体積は、$\triangle\mathrm{APE}$ を底面と見ると、底面積が立方体の $\displaystyle \frac{1}{4}$ で高さは等しいため、$\displaystyle \frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$ となります。
最後に、線分 $\mathrm{EG}$ を $\mathrm{P}$ を通るように平行に動かして切断します。
切り取られる三角錐の体積は、$\triangle\mathrm{PEH}$ を底面と見ると、底面積が立方体の $\displaystyle \frac{1}{2}$ で高さは等しいため、$\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ となります。
結局、$\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$ より、求める体積はもとの立方体の半分となります。
$$8^3\times \frac{1}{2}=256$$
となります。
ちなみに、三平方の定理を学ぶと、もう少し違った考え方もできるので、別解として紹介しておきます。意欲のある人は読んでみてください。
これは直接、立体の体積を求めていきます。
図のように、平面 $\mathrm{PEFQ}$ で立体を切断すると、$\mathrm{B-PEFQ}$ と $\mathrm{G-PEFQ}$ という2つの四角錐に分割されます。このとき、$\mathrm{EF\perp FQ}$、$\mathrm{EF\perp FG}$ をよく確認しておきましょう。
さて、立方体の側面 $\mathrm{BCGF}$ を取り出してみると、$\triangle\mathrm{BQF}$ は直角三角形であり、三平方の定理を利用すると
$$\mathrm{FQ}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$$
が得られます。したがって、先ほどの断面 $\mathrm{PEFQ}$ の面積は $4\sqrt{5}\times 8=32\sqrt{5}$ となります。
次に、$\mathrm{G}$ から $\mathrm{QF}$ に垂線を下ろし、垂線の足を $\mathrm{H}$ とします。このとき、$\triangle\mathrm{BQF}$ と $\triangle\mathrm{HFG}$ は相似であり、
$$4\sqrt{5}:8=8:\mathrm{GH}$$
が成り立ちます。これを解くと $\displaystyle\mathrm{GH}=\frac{16}{\sqrt{5}}$ となります。同様にして $\mathrm{B}$ から $\mathrm{QF}$ に垂線を下ろすと、その長さは $\displaystyle\frac{8}{\sqrt{5}}$ となります。
したがって、この2つの三角錐の体積を考えて
$$\frac{1}{3}\times 32\sqrt{5}\times \left(\frac{16}{\sqrt{5}}+\frac{8}{\sqrt{5}}\right)=256$$
が得られます。
まとめ
というわけで、2023年度第5回石川県総合模試を解いた率直な感想は「微妙・・・」でした笑。
数学が得意な人は満点が取れたんじゃないかなと思います。時間的にも余裕があったでしょう。上位校を狙う人であれば、この内容なら8割は切らないで欲しいですね。この時期ともなれば、もう少し骨のある問題に挑戦してみたかったという人も多かったのではないかと思います。そういうタイプの人は個人個人で難問に挑戦してみましょう！
一方で、数学があまり得意でない人は時間が厳しく感じたのではないかと思います。真面目に計算をやるとそれなりの計算量になるので、そこで時間を取られた人や、焦ってしまった人がいたのではないかと思います。比較的点数はバラけそうな感じがするので、成績分布と自分の位置をよく確認しておきたいところです。
今年度の模試は、数学が例年よりも簡単になっています。だからと言って入試の問題が簡単になるということではありません。公立高校入試の問題は、一昔前に比べるとかなり難しくなってきています。本番で見たことのないような問題が出る可能性も十分あり得ます。最近の入試の傾向として、大学入試も高校入試も初見力がかなり重要になってきています。知っている問題でないと手が動かないようなタイプの人は要注意です。本番までにさまざな問題に触れて、いろいろな視点を養っておくことが大事ですよ。
というわけで、すぐに12月の模試もやってきます。復習をサクッとやって、次に備えましょう！