2021年度第8回石川県総合模試の数学を解いてみた【最終回】

私立高校の入試も終わり、いよいよ公立高校入試へ向けて最後の追い込みの時期となりました。本番までの残りの期間を有効に活用するためにも、しっかりと模試の復習をやっておきましょう！

概観

セットはお馴染みの大問数7、小問数22というものでした。今回は全体的に時間のかかる問題が多かったので、かなり焦ったという人もいたかもしれません。第5回、第6回と比較的易しい内容だったのですが、第7回と今回はいつも通りの石川県総合模試という感じでした。前半の規則性の問題や後半の図形問題で時間を取られた人も多かったかもしれません。また、最初から後半の図形は捨てたという人もいたかもしれません。いずれにしても、今回は難しめの問題が多かったので、平均点もあまり伸びないと思われます。

今回はとくに中学3年生の後半で扱う内容が多く、三平方の定理や円周角の問題が目立ちました。このあたりは習ってから日が浅いため、少し込み入った問題になるとガクンと正答率が落ちます。数学で差をつけたいという人は、中3後半の図形の問題は重点的に取り組んでいくといいでしょう。

全体的な難易度　難

各問題の概要

ここからは大問ごとの解説となります。実力アップに繋がりそうな問題は詳しい解説をつけておきます。

大問1

内容　小問集合

難易度　易

今回の大問1は比較的得点しやすい問題が多かったので、できれば満点を狙いたいところです。後半の(4)、(5)あたりは、基礎力が備わっていない人はやらかしてしまいそうな問題なので、よく確認しておきましょう。

(1)の計算はとくに問題はないでしょう。エの計算は通分する際に符号の取り扱いに注意しましょう。また、オの計算では $\displaystyle \sqrt{48}\times \frac{1}{\sqrt{6}}$ を $\displaystyle4\sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{6}}$ などのようにわざわざ面倒な計算に持ち込む人を見かけます。

$$\sqrt{48}\times \frac{1}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{48}{6}}=\sqrt{8}$$

のような計算でサクッと解けるようになっておきましょう。

(2)は解の公式を使うだけなので、あまり面白くないですね。

(4)はだいたいの値を押さえれば問題ないでしょう。$\sqrt{81}<\sqrt{90}<\sqrt{100}$、すなわち $9<\sqrt{90}<10$ となるので、$\sqrt{90}$ は $9.\cdots$ となります。同様にして、$12<\sqrt{150}<13$ なので、$\sqrt{150}=12.\cdots$ となります。したがって、$9.\cdots<n<12.\cdots$ を満たす自然数は10、11、12の3つとなります。

(5)もちょっと問題文が長いですが、ちゃんと読んでいけば問題ありません。$a$、$b$の値で樹形図を作ってみて、$3a-2b$が正の数となるものを拾っていきましょう。

上図のように全部書き出せば一目瞭然です。求める確率は、$\displaystyle \frac{12}{20}=\frac{3}{5}$ となります。

大問2（復習おすすめNo.2）

内容　規則性

難易度　標準

大問2は規則性の問題でした。

図のようなタイルを規則にしたがって置いていきます。

(1)はタイルを4枚置いたときの $\triangle\mathrm{PQR}$ の面積を求める問題ですが、とにかくまずは図を描いてみましょう。

こんな感じの図になればOKです。問題は斜線部の $\triangle\mathrm{PQR}$ の面積をどう求めるかですが、どの辺も斜めなので扱いにくいです。こんな場合は大きい面積から計算しやすい部分を削り取っていきましょう。図を見て、長方形STRUから3つの三角形 $\triangle\mathrm{SPQ}$、$\triangle\mathrm{PTR}$、$\triangle\mathrm{RUQ}$ の面積を引くのが簡単そうです。

$$\triangle\mathrm{SPQ}=\frac{1}{2}\times 2\times 1=2$$

$$\triangle\mathrm{PTR}=\frac{1}{2}\times 4\times 6=12$$

$$\triangle\mathrm{PTR}=\frac{1}{2}\times 5\times 4=10$$

となるので、$30-2-12-10=7$ となり求める面積は $7\mathrm{cm}^2$ となります。

(2)は置いたタイル全体の周の長さを $a \mathrm{cm}$として、はじめて $a>100$ となるのは何枚目のタイルを置いたときかを考える問題でした。

これは推移する様子を図に描いて考えるといいでしょう。

描き出してみたら、どこがどう変化するか（変化するもの・しないもの）を考えてみましょう。

最初の①では10cmです。①の状態から②の状態へ変化するとき、周の長さは赤線の部分が増えることになります。①から②へ変化する際に周の長さは $+4$ となります。また、同じように②から③へ変化する際に周の長さは $+4$ となります。これを一般化してみます。

2枚タイルを並べたときは $10+4=14$ となり1回 $+4$ することになります。
3枚タイルを並べたときは $10+4+4=18$ となり2回 $+4$ することになります。

ということは $n$ 枚タイルを並べたときは、$n-1$ 回 $+4$ することになります。これは

$$a=10+4\times (n-1)=4n+6$$

と表すことができます。あとは、$a>100$ となる場合を考えれば良いので、$4n+6>100$ を計算します。

$$n>\frac{94}{4}=23.\cdots$$

となるので、求める $a$ は24ということになります。

大問3

内容　関数と図形

難易度　標準

大問3はよくある関数と図形の融合問題でした。入試に向けてしっかりと準備ができている人は簡単に解けたのではないでしょうか。このレベルの問題で苦労している人は、まだまだ勉強不足と言えます。$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$ のグラフと、A、Bの $x$ 座標がそれぞれ $-4$ と $2$ ということが与えられています。あとは図の通りです。

(1)はDの座標を求める問題です。これは直線ABの方程式を求めれば $y$ 切片としてDの座標が分かります。が、図形的に見れば暗算でも解けてしまいます。

AとBの座標はサクッと求めてください。ここから、直線の式を考える場合は、傾きが $\frac{-6}{6}=-1$ であり、点 $(2,\ 2)$ を通ることから

$$y=-x+4$$

と求められます。図形的には斜線部分の2つの相似な三角形に着目します。このときの相似比は $\mathrm{AE:BF=4:2=ED:FD}$ なので、$\mathrm{EF}=6$ に注意して

$$\mathrm{DF}=6\times \frac{1}{3}=2$$

となり、$\mathrm{D}$ の $y$ 座標は4と分かります。

(2)はACの長さを求める問題です。これは(1)からの流れですぐに解ける問題です。

斜線部の三角形は直角二等辺三角形となるので、辺の比 $1:1:\sqrt{2}$ となります。というわけで、ACの長さは $8\sqrt{2}$ と特に計算しなくても求められますね。

(3)が少々面倒な感じもしますが、必要な部分だけを取り出して考えていくといいでしょう。求めるものは $\mathrm{AQ:QP}$ です。

$\angle\mathrm{APO}=\angle\mathrm{BPC}$ となる（図では$\angle\mathrm{APO}=\angle\mathrm{BPF}$）ので、$\triangle\mathrm{APQ}\sim\triangle\mathrm{BPF}\sim \triangle\mathrm{QPO}$ が分かります。

$\triangle\mathrm{APQ}\sim\triangle\mathrm{BPF}$ では相似比が $\mathrm{EP:FP}=4:1$ となります。このとき、点Pの $x$ 座標を $t$ とおくと、$\mathrm{EP:FP}=4:1$より

$$(4+t):(2-t)=4:1$$

となるので、$4+t=8-2t$ から $\displaystyle t=\frac{4}{5}$ となります。

ここで、$\mathrm{AE}//\mathrm{QO}$ となっているので、

$$\mathrm{AQ:QP=EO:OP}=4:\frac{4}{5}$$

すなわち、$5:1$ が求める比となります。

大問4

内容　方程式

難易度　易

大問4の方程式は非常に簡単だったので、ここでしっかりと得点しておきたいところです。

大人と子どもがあわせて32人とあるので、まずは大人の人数を $x$ とします。そうすると子どもの人数は $32-x$ となります。

大人の $\displaystyle \frac{1}{4}$ が往復乗車券、残りの大人と子どもは片道乗車券で、乗車券の合計金額が11760円なので

$$\frac{1}{4}x\times 880+\frac{3}{4}x\times 480+(32-x)\times 240=11760$$

となります。これを解けば、$x=12$ となります。よって、大人12人、子ども20人となります。

大問5

内容　作図

難易度　標準

今回の作図はそこまで難しいものではありませんでしたが、図形が苦手な人は苦戦したのではないかと思います。

Pの満たすべき条件は2つです

• PはBDをDの方向に伸ばした直線上にある。
• $\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{APB}$

です。1つ目の条件は問題ないでしょう。大事なのは2つ目です。とりあえず、$\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{APB}$ となりそうなPを取ってみましょう。ここで、円周角に気づけるかどうかがポイントになります。PはA、B、Cを通る円の円周上に存在する点です。また、$\triangle\mathrm{ABC}$ が直角三角形であることに注意すると、ACが円の直径になることが分かります。

したがって、まずはACを直径とし、Bを通る円を作図しましょう。ACの中点をとってこれを中心とすればOKです。

仕上げは、BとDを結ぶ直線を引いて、円周との交点を求めればOKです。

この問題、作図をするだけならそこまで難しい問題ではありません。ただ、円周角定理の逆がテーマになっているので、そこをきちんと考えたいですね。

大問6（復習おすすめNo.3）

内容　平面図形

難易度　やや難

平面図形の問題は、円周角と三平方の定理が入った問題だったので、練習が不足している人は難しく感じたかもしれません。一方で、ある程度図形の問題を練習してきた人はそれなりにできたのではないかと思います。(3)は、どこに着目するかが大切になるので、入りを失敗すると時間を食いそうな感じの問題でした。

(1)はよくある角度の問題でした。作図の問題と同じく、直角三角形とその外接円の関係がポイントになります。また、弧の長さの比が円周角の大きさ（中心角でもヨシ！）の比と等しいことも押さえておきましょう。

$\angle\mathrm{ACQ}=70^\circ$ が与えられていますが、弧 $\mathrm{AC}$ と弧 $\mathrm{CB}$ が同じ長さであることから、$\triangle\mathrm{ACB}$ は $\mathrm{AC=BC}$ の直角二等辺三角形となります。当然、$\angle\mathrm{ACB}=90^\circ$ なので、これによって、$\angle\mathrm{QCB}=20^\circ$ が分かります。

また、$\angle\mathrm{ABC}=45^\circ$ であることから、求める比は $45:20$ すなわち $9:4$ となることが分かります。

(2)の証明は易しかったので、きちんと解いておきたい問題です。$\mathrm{BQ}//\mathrm{RO}$ が追加されています。

平行条件があるので、やはり錯角や同位角に着目したいですね。錯覚を考えて、$\angle\mathrm{ORP}=\angle\mathrm{BQP}$ が分かります。さらに、円周角の定理から $\angle\mathrm{BQP}=\angle\mathrm{CAP}$ となります。したがって、

$$\angle\mathrm{CAP}=\angle\mathrm{ORP}$$

また、共通な角について

$$\angle\mathrm{APC}=\angle\mathrm{RPO}$$

が言えるので、これにより $\triangle\mathrm{ACP}\sim \triangle\mathrm{ROP}$ が示せます。

(3)では、図が全く変わります。設定がリセットされる部分には注意しておきましょう。

$\mathrm{AB=10cm}$、$\mathrm{AP=4cm}$ のとき、$PQ$ の長さを求めていきます。図に書き込んであるのですぐに気づくと思いますが、ここでも円周角の定理を用いることで

$$\triangle\mathrm{PCA}\sim \triangle\mathrm{PBQ}$$

となります。ここに素早く気づけるかどうかがポイントになります。$\mathrm{AB}$ と $\mathrm{AP}$ が分かっているので、

$\mathrm{CQ}$ 上のどこかの長さが分かるといいなあ

と思えるとGOODです。そうなると、直角三角形 $\mathrm{OCP}$ が際立って見えてくるのではないでしょうか。$\mathrm{OP=1cm}$、$\mathrm{OC=5cm}$ は設定から分かります。あとは三平方の定理から

$$\mathrm{CP}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$$

となるので、

$$\mathrm{CP:BP=PA:PQ}$$

すなわち

$$\sqrt{26}:6=4:\mathrm{PQ}$$

となり、これを解いて、$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{12\sqrt{26}}{13}$ となります。

大問7（復習おすすめNo.1）

内容　空間図形

難易度　難

最後の空間図形はかなり重たい問題でした。(1)だけ解いたという人が多かったのではないかと思います。(2)は見た目ほど難しくはありませんが、図を正確に把握しないと手が止まってしまいそうな問題でした。そして、(3)の体積の問題がかなり時間を食いそうな難問でした。解けた人はかなり実力がついていると思っていいでしょう！

(1)はよくあるねじれの位置の問題だったので、ここはサクッと解いておきたいところです。

(2)は、平面の図を書き出してみると、案外簡単に解けるのですが、$90^\circ$ の条件を見失うと厳しくなります。

こんな感じの図が与えられているのですが、ここから $\triangle\mathrm{ABC}$ の平面を取り出すと下図のようになります。

これが取り出せたら簡単ですね。$\triangle\mathrm{ABC}\sim\triangle\mathrm{APQ}$ となるので、相似比から $\mathrm{AP}$ が求められます。そのとき、 $\mathrm{AB}$ の長さは $\triangle\mathrm{APQ}$ において三平方の定理から

$$\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$$

となります。したがって

$$\mathrm{AP}:\sqrt{40}=1:3$$

となるので、$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{2\sqrt{10}}{3}$ となります。

そして、難問の(3)ですが、手順が多いので時間が足りなかったという人が多いと思います。復習の際は時間を気にせずじっくり考えてみてください。アレコレやってみると案外基本的な考え方で解ける問題です。

求めるものは四面体ADPQの体積ですが、直接求めようと思っても求まりません。そこで、いくつか予想してみます。

• 四面体ADPQを分割する
• 大きい図形から余分な部分を引く
• 他の立体との体積比から求める

こんな感じの予想を立てられればOKです。その上で、まずはあれこれやってみてください。

そうすると、今回は最後の体積比から求める方法がいちばん有効な考えだと感じるでしょう。ですが、ここに辿り着くまでにかなりの時間を要すると思います。体積比についても、単純な体積比較ができないため、あれこれ図形を動かしながら考えないといけません。

まず、四面体ADPQについては、どこを底面とするかがポイントになります。候補としては $\triangle\mathrm{APQ}$ か $\triangle\mathrm{AQD}$ でしょう。他の面は中途半端なところに出てくるのでできれば避けたいです。そして、底面を決めると頂点が定まりますが、頂点がいい感じの位置にくるのが $\triangle\mathrm{APQ}$ を底面とする $\mathrm{D-APQ}$ という見方です。

ここが決まったら、あとは比べる図形を決めます。このとき、不要な部分が目に入ると邪魔なので、できれば図を自分で描き直してみるといいでしょう。

図のように、Eを消した図形を描いてみると、$\mathrm{D-APQ}$ と $\mathrm{D-ABC}$ を比べると良いことが分かります。今回の問題では、この図を描けるかどうかというのがポイントになると思います。

$\mathrm{D-APQ}$ と $\mathrm{D-ABC}$ の体積比は、底面の $\triangle\mathrm{APQ}$ と $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積比と等しくなります（高さは共通となるので）。

では、$\triangle\mathrm{APQ}$ と $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積比を見ていきましょう。これも図を新たに描いてみるといいでしょう。

(1)から $\mathrm{AB}=\sqrt{40}$、また $\mathrm{BC}=3$ なので、三平方の定理から $\mathrm{AC}=7$ となります。さらに、$\mathrm{QC}=2$ が与えられているので、$\mathrm{AQ}=5$ となります。

そして、$\mathrm{B}$ から $\mathrm{AC}$ に垂線をおろし、$\mathrm{P}$ から $\mathrm{AC}$ に平行に引いた直線との交点 $\mathrm{R}$ を考えます。このとき $\mathrm{BR:RQ}=1:1$ です。

$\triangle\mathrm{ABC}$ と $\triangle\mathrm{APQ}$ を $\mathrm{AC}$、$\mathrm{AQ}$を底辺とする三角形と見ると、 $\triangle\mathrm{APQ}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ と比べて底辺が $\displaystyle \frac{5}{7}$ であり、高さが $\displaystyle \frac{1}{2}$ となることが分かります。したがって、

$$\triangle\mathrm{APQ}=\frac{5}{14}\times\triangle\mathrm{ABC}$$

となることが分かりました。ということは

$$\mathrm{D-APQ}=\frac{5}{14}\times\mathrm{D-ABC}$$

です。あとは、$\mathrm{D-ABC}$ の体積を求めればOKです。が、今度は $\mathrm{D-ABC}$ を $\mathrm{A-BCD}$ とみて体積を計算する必要があります。計算は簡単ですね。

$$\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 6\times 3\right)\times 2=6$$

となります。したがって、

$$\mathrm{D-APQ}=\frac{5}{14}\times6=\frac{15}{7}$$

となります。

まとめ

というわけで、今回の解説記事を作るのは非常に大変でした。もうやりたくないです（笑）

そのくらい面倒な問題が多かったということです。即答できるような問題は少なく、実験してみたり、あれこれやってみないと見えてこない問題が多かったように思います。近年の公立高校入試は難化傾向にあり、こうしたタイプの問題が増えてきています。単に入試用の問題集をやり込むだけでは、こうした問題を解けるようにはならないでしょう。数学の平均点が低いのは、そうしたテスト対策に特化した勉強法が1つの原因です。まずは、ちゃんと数学することが第一です。分かっていないけど何とか点数を取る方法というのは、これからの入試では通用しなくなるということは認識しておいてくださいね。

公立高校入試まであと1ヶ月ほどになりました。まだまだ出来ることはたくさんあります。これまで誤魔化してきた部分などがあれば、もう一度教科書内容から見直してみることをオススメします。基礎が完成している人は、いろいろなタイプの問題に当たって、柔軟な発想を養っておきましょう。

今回で解いてみたシリーズも最終回となります。あとは、本番でしっかりと実力を発揮できるように準備をしていきましょう。

がんばれ受験生！！