公立高校入試まであと1ヶ月ほどとなりました。受験生のみなさんは最後の追い込みの時期となりますが、1日1日を充実したものにするためにも、模試の復習をしっかりとやっておきましょうね！
とくに連続受験してきた人は、最後に一度すべての模試に目を通してみるものいいでしょう。クリアできた課題は何か、まだ残っている課題は何か、いろいろと見えてくるものがあると思います。1年間の自分が頑張った足跡を確認しつつ、最後のもう一伸びを目指して頑張りましょう！
概観
今年度の最終回ということもあり中学3年内容を中心とした出題構成となっていました。とくに平面図形の円、空間図形の球の問題は図形が苦手な人は苦戦したのではないかと思います。また、作図の問題も少しイヤらしい問題でした。それに比べると、前半の代数分野は比較的軽めの問題が多く、ここでの得点が本番も鍵を握るでしょう。数学が苦手な人は、とにかく前半で取りこぼさないことが大切です。上位校を狙っている人は、後半の図形でどこまで得点できるかがポイントになります。
2023年度の石川県総合模試の数学は、第1回から易化の傾向がありましたが最終回も易しめの問題が多かったです。しかし、今年度の受験生の成績を見ていると、数学の学力の低下傾向はいつも以上に強く表れており、今回も平均点はそこまで高くならないと思われます。難易度も「やや易」でもいいレベルなのですが、全体の傾向を見て「標準」としておきます。
全体的な難易度 標準
各問題の概要
以下、各問題の解説となります。問題を用意してご覧ください。今回は、模範解答があまり良くないものも見られたので、この時期の解説としてもう少し工夫した考え方をできるだけ紹介していきます。
大問1
内容 小問集合
難易度 易
大問1は例によって計算と知識系の小問集合でした。そろそろ(1)の計算はミスなく終わらせたいところです。が、今年度はウ、エ、オと後半の計算の得点率が低いのが気がかりです。こんなところで落とすのは非常に勿体無いので、数学が苦手な人は計算をなるべくシンプルにするような計算方法を実践するようにしましょう。
オの計算は下のように見えて欲しいです。
$$5\sqrt{3}\times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-4\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$
(2)は面白みのない2次方程式の問題でした。解の公式から
$$x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{4}$$
と計算するだけです。
解の公式を正確に覚えることが大事なように思えますが、それ以上に大事なことがあります。出題者ももう少し工夫をしてほしい問題です。
(3)は歯車の歯数についての古典的問題でした。最近はこの手の出題は減ってきているので、むしろ初見だった人もいるかも知れません。考え方は非常に簡単です。回転数が$\displaystyle\frac{3}{5}$倍なので、歯の数は$\displaystyle\frac{5}{3}$倍となります。よって、$\displaystyle24\times \frac{5}{3}=40$です。こういう問題で、$\displaystyle24\times 15=x\times 9$などと計算してしまう人が多いと思いますが、比についての理解度を少し疑ってみた方がいいかもしれません。
(4)は$\displaystyle\frac{60}{n}$が奇数となる自然数$n$の個数を求める問題です。奇数になる条件は、奇数$\div$奇数となること、さらに$\displaystyle\frac{60}{n}$が整数になることを考えると、60の正の約数のうち奇数であるものの個数を数えればOKですね。
$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 10,\ 12,\ 15,\ 20,\ 60$$
よって、このうちの奇数を数えて4個となります。
(5)は最近の入試では必ずどこかに登場する統計の問題です。はっきり言って数学の問題といっていいのかよく分からない問題が多いのですが、知識だけでもかなり得点できるので、準備はしておきたいですね。正しいものは、問答無用でエが選べるので他の選択肢は検討の必要もないです笑。
大問2
内容 確率
難易度 易
大問2は少し変化をつけた確率の問題ですが、結局はサイコロを2回振るというよくある設定の問題です。まずは全パターンを考えて、そのうち該当するものを選ぶだけなので、慌てずに対処しましょう。
(1)では、まず全パターンを考えます。（1回目、2回目）のように考えると、それぞれの目の出方は6通りずつあるので、全部で$6\times 6=36$通りとなります。そのうち、1と2の両方に色が塗られるのは、（1、2）または（2、1）の2通りがあるので、求める確率は
$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$
となります。
(2)はまず展開図を組み立てて、向かい合う面がどうなるかを考えましょう。
向かい合うのは「1と4」「2と5」「3と6」となります。したがって、向かい合う面が塗られるのは
（1、4）（4、1）（2、5）（5、2）（3、6）（6、3）
の6通りあるので、求める確率は$\displaystyle\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$となります。
大問3
内容 関数
難易度 易
今回は関数と図形の融合問題でした。入試問題として考えるとかなり易しいレベルになります。上位校狙いの人は絶対に落とせない問題です。
関数$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$のグラフ上に、$x$座標が$4$の点$\mathrm{A}$があります。$\mathrm{B}$は$\mathrm{A}$から$x$軸に引いた垂線です。$\mathrm{P}$はグラフ上の$x$座標が負の点となります。また、$\mathrm{AP}$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とします。この時点で、$\mathrm{A}(4,\ 4)$、$\mathrm{B}(4,\ 0)$が分かります。
(1)は$\mathrm{P}$の$x$座標が$-4$のときの直線$\mathrm{BP}$の式を求める問題です。
$\mathrm{P}(-4,\ 4)$となるので、結局は$2$点$(4,\ 0)$、$(-4,\ 4)$を通る直線の式を求める問題です。このくらいであれば、暗算でサクッと$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2$と求めたいですね。間違っても$y=ax+b$とおいて・・・などという回りくどい計算はしないように気をつけましょう。
(2)は$\mathrm{PQ:QA=3:2}$のときの$\triangle\mathrm{OAP}$の面積を求める問題です。
上図のように$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{C}$とします。$\mathrm{PC//AB}$となるので、$\mathrm{PQ:QA=CO:OB=3:2}$となります。この時点で$\mathrm{C(-6,\ 0)}$が分かります。芋づる式に、$\mathrm{P(-6,\ 9)}$も押さえておきましょう。
$\mathrm{Q}$の求め方はいろいろありますが、できるだけ面倒な計算は避けたいので上のような直角三角形$\mathrm{ADP}$を意識します。$\mathrm{AD}=5$なので、$\displaystyle 5\times \frac{3}{5}=3$となることから、$\mathrm{OQ}=9-3=6$となります。
$\triangle\mathrm{OAP}=\triangle\mathrm{OQA}+\triangle\mathrm{OQP}$なので
$$\frac{1}{2}\times 6\times 4+\frac{1}{2}\times 6\times 6=30$$となります。
(3)は$\mathrm{OP=AP}$のときの点$\mathrm{P}$の$x$座標を求める問題です。まずは図を描いてみましょう。
図形の問題として眺めると、$\mathrm{OP=AP}$の二等辺三角形はもちろんですが、$\mathrm{OB=AB}$の直角二等辺三角形にも注意すると、直線$\mathrm{PB}$が線分$\mathrm{OA}$を垂直に二等分することが分かります。
このとき、直線$\mathrm{PB}$は傾き$-1$で、$\mathrm{B}(4,\ 0)$を通ることから、$y=-x+4$となります。
よって、$\mathrm{P}$の$x$座標は$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$と$y=-x+4$から$y$を消去して
$$\frac{1}{4}x^2=-x+4\Longleftrightarrow x^2+4-16=0$$
$(x+2)^2=20$より$x$座標は負であることに注意して、$x=-2-\sqrt{20}=-2-2\sqrt{5}$となります。
大問4
内容 方程式
難易度 易
今回の方程式の問題は非常に簡単でした。問題を読みながら整理していくと、勝手に解けてしまうようなレベルです。
A班は20日間で1000羽の鶴を折っているので、1日あたり50羽を折っています。B班は4人でスタート時にすでに80羽折っているので、残り920羽です。最初は1人10羽ずつなので1日あたり40羽折れます。途中から1日15羽ずつなので1日あたり60羽折れることになります。そして、20日間で920羽折ることになるので
$$40x+60(20-x)=920$$
すなわち、$x=14$となります。よって、10羽ずつ折ったのが14日、15羽ずつ折ったのが6日です。おしまい。
大問5
内容 作図
難易度 やや難
今回の作図は$\sqrt{5}$という作図ではあまり見かけない値が出てきたので少し難しく感じた人もいたかも知れません。線分$\mathrm{AB}$に対して、次の条件を満たす直角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{C}$を作図する問題です。まず、さりげなく言われていますが、直角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{C}$というのも条件の1つなのでチェックしておきましょう。あとは以下の条件です。
① $\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$の上側に存在する
② $\angle\mathrm{A}=90^\circ$
③ $\mathrm{AC:BC=1:\sqrt{5}}$
直角三角形$\mathrm{ABC}$と②、③の条件および三平方の定理から、以下のような直角三角形がイメージできます。
これが分かってしまえば、どう作図するかは見えてくるでしょう。$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$（垂直二等分線の作図）をとり、$\mathrm{A}$と中心とする半径$\mathrm{AM}$の円を描きます。このとき$\mathrm{AB}$を延長しておきましょう。あとは、$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{AB}$の垂線を引いて、円と交わる点を$\mathrm{C}$とするだけです。
大問6
内容 平面図形
難易度 やや難
大問6は円周角をベースとした平面図形の問題でした。円が関わる問題は正答率が下がる傾向があるので、入試で出てきた場合は気をつけて取り組みましょう。
今回はこんな図が与えられます。$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$は直径です。
(1)は、$\angle\mathrm{ACP}=50^\circ$、$\angle\mathrm{ADB}=37^\circ$のときの$\angle\mathrm{AQC}$を求める問題です。
何通りか考え方はありますが、円周角と三角形$\mathrm{CPQ}$の外角を考えるのが手っ取り早いでしょう。
円周角定理から$\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{ACB}=37^\circ$となるので、$\angle\mathrm{QCP}=13^\circ$となります。また、$\angle\mathrm{CPQ}=90^\circ$も確認しておきましょう。
以上から、$\angle\mathrm{AQC}=103^\circ$となります。
(2)は$\mathrm{BD//PC}$のとき、$\triangle\mathrm{ACD}\sim\triangle\mathrm{CQP}$を証明する問題です。相似の証明なので2角を狙っていきましょう。
ここでも円周角に着目すると、$\angle\mathrm{CAD}=\angle\mathrm{CBD}$が成り立ちます。また、$\mathrm{BD//PC}$から$\angle\mathrm{CBD}=\angle\mathrm{QCP}$となります。よって、$\angle\mathrm{CAD}=\angle\mathrm{QCP}$です。
さらに、$\mathrm{AC}$がちょっけいであることから、$\angle\mathrm{ADC}=\angle\mathrm{CPQ}=90^\circ$となります。
よって$\triangle\mathrm{ACD}\sim\triangle\mathrm{CQP}$が示せました。
(3)は(2)の設定を引き継ぎながら、$\mathrm{BQ=CQ}$が加わります。下図において$\mathrm{AC=12}$のときの$\mathrm{AR}$を求める問題です。
まず、与えられている$\mathrm{AC=12}$から考えましょう。$\mathrm{AC}$を含む図形として、$\triangle\mathrm{ACP}$や$\triangle\mathrm{ACD}$が見えます。どちらも直角三角形なので、三平方の定理が使えそうです。とくに$\triangle\mathrm{ACP}$の方は、$\triangle\mathrm{ACP}\sim\triangle\mathrm{AOR}$も成り立つため、かなりクサいですね。このとき中点連結定理から$\mathrm{CP=2OR}$となることも合わせて押さえておきましょう。
また、もう1つの条件$\mathrm{BQ=CQ}$を用いれば$\mathrm{BE//PC}$と合わせて$\triangle\mathrm{BRQ}\equiv\triangle\mathrm{CPQ}$となります。したがって、$\mathrm{CP=BR=2OR}$が成り立つので、$\mathrm{OB=3OR}$が成り立ちます。さらに$\mathrm{OB}$は半径なので$\mathrm{OB}=6$となります。したがって、$\mathrm{OR}=2$が分かります。これで$\triangle\mathrm{AOR}$で三平方の定理から$\mathrm{AR}$が求められます。
$$\mathrm{AR}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$$
となりますね。
大問7
内容 空間図形
難易度 標準
最後はいつも通り空間図形です。今回は底面の直径が$24$、高さ$27$の円柱の中に半径$12$の球が入った下図のような問題になります。
(1)は円柱と球の体積比を求める問題です。
円柱の体積は$12\times 12\times \pi\times 27$
球の体積は$\displaystyle \frac{4}{3}\times 12\times 12\times 12\times \pi$
となるので、円柱と球の体積比は
$$\displaystyle 27:\frac{4}{3}\times 12=27:16$$
(2)は下図における$\mathrm{OP}$の長さを求める問題です。$\mathrm{P}$は上面の周上を動く点です。
これは断面から考えていけば簡単です。与えられた長さを忠実に与えていけば問題ないでしょう。
円柱を縦に半分に割ると上図のようになります。$\triangle\mathrm{OPQ}$で三平方の定理を用いると
$$\mathrm{OP}=\sqrt{12^2+15^2}=3\sqrt{41}$$
となります。
(3)も基本的には(2)と同じように考えていくことができます。同じような断面を用意しましょう。
円$\mathrm{O}’$の半径を$x$とすると、上図において$\mathrm{O’R}=15-x$、$\mathrm{OR}=12-x$、$\mathrm{OO’}=12+x$となるので、$\triangle\mathrm{ORO’}$で三平方の定理を用いると
$$(12+x)^2=(15-x)^2+(12-x)^2$$
これを整理すると$x^2-78x+225=0$となり、因数分解すれば$(x-3)(x-75)=0$です。$75$はありえないので、求める半径は$3$となります。
まとめ
最終回ということでどのくらいの難易度になるのか楽しみにしていましたが、今年度の易化傾向そのままという内容でした。現状ではこのくらいの難易度でないと明確な差が表れないということでしょう。今年度は受験生の数学力の低下を強く感じる1年でした。
しかし、入試本番の問題も易しくなるかどうかは分かりません。難しい問題が増えることも想定されます。全国的な傾向としては公立高校入試の問題もかなり難化傾向にあるので、そのつもりで準備をしておくことが大切です。とはいえ、難しい問題をやりまくればいいかというと、そういうわけではありません。難しい問題に挑戦しつつ、基礎の部分もしっかりと見直すことで、より理解が深まるでしょう。そういう勉強をやってもらいたいなあと思います。
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