現在、中学校3年生の数学では、2次方程式あたりをやっています。
2次方程式といえば、解の公式というものが登場します。
解の公式については、昨年、一昨年と暑苦しいくらいに語っています。
塾長いよいよ北陸地方も梅雨入りしたようです。今日もジメジメした1日になりそうですね〜。脳みそにもカビが生えそうです（笑）というわけで、6月になると中3の授業では2次方程式あたりをやることになります。このあたり[…]
塾長今日は最高気温が30℃を超えているようですね。夏男の塾長は暑いのは得意なのでなんとなく浮かれてしまいますね〜。いま、パチコチしながら相川七瀬の「夢見る少女じゃいられない」がBGMで流れています。そのくらい浮かれています。[…]
この解の公式については、最終的に覚えてしまうことになると思いますが、最初から呪文のように覚えさせることには断固反対しています。
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
これを「にえーぶんのまいなすびーぷらすまいなするーとびーにじょうまいなすよんえーびー」などと何度も唱えて覚え、そしてそこに当てはめるということが繰り返されています。
例えば、$2x^2-3x-1=0$ のような問題に対して、$a$ が $2$ で、$b$ が $-3$ で、$c$ が $-1$ だから
$$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\times 2\times (-1)}}{2\times 2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$$
のように考えている人が相当数います。
もちろん、答えは間違っていないのでこれでも問題はないように見えます。
試験のことだけを考えれば「覚えて当てはめる」だけでも点数はもらえます。
実際に、石川県公立高校入試や石川県総合模試などでも、単に公式を用いて解くだけのような問題が出題されていますし。
しかし、大事なことは他にもあるんです。それは、
- この公式はどのように作られるのか
- 公式によってすべての解が求まるのか
- 公式はいつでも使えるのか
こうした検証をして、「正しいものである」ということを確認することです。
この部分をすっ飛ばして、ただ公式を覚えて当てはめるなんてことをやっていたら、それは数学の勉強ではなくなってしまいます。
なお、解の公式は以下のように導くことができます。
\begin{align*}
&ax^2+bx+c=0\\
&x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\
&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\\
&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\
&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
&x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
&x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}
これらはすべて、同値変形となっているので、最初の $ax^2+bx+c=0$ が成り立っていれば、$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ もなりたつわけです。
すなわち、$ax^2+bx+c=0$ を成り立たせている $x$ は $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ であることが分かります。
数学の勉強をするというのであれば、最低でもこのくらいのことには触れておきたいところです。
試験のための間に合わせの勉強ではなく、きちんと基礎から理解を積み上げていく、そんな勉強をやってもらいたいなあと思っています。