第1回金沢市統一テスト 2022（数学）
今回は、恒例の「解いてみた」シリーズの金沢市統一テスト版となります。
時間が足りなかったという声を多く聞きましたが、今回の内容はどうだったのでしょうか。
私が実際に解いてみた率直な感想は、昨年までの良問揃いの内容とは雰囲気がずいぶん変わって、今年度のテストは受験問題集から拾い集めてきたような問題ばかりで構成されていました。難易度的には易〜標準レベルの問題が多いのですが、いわゆる受験テクニックでゴリ押しできるような問題が多く、そうした解法をたくさん知っていれば時間的に有利だなといった感じでした。一方で、深い理解を要求するような問題や、面白いテーマにつながるような問題は少なく、個人的にはちょっと残念だなあという気持ちです。
石川県総合模試などの入試対策用の模試を受験している人は、時間配分や問題の取捨選択などを考慮しつつ解けたのではないかと思います。しかし、そうした経験が少ない人は「考えていたら時間がなくなっていた」といった事態に陥ったかもしれません。焦りからミスを多発してしまったという人もいたかもしれませんね。入試形式の試験は学校の定期テストとは全く異なるものなので、そのあたりの経験は大切です。
なお、入試本番では問題数的にもう少し余裕があると思いますが、本番のプレッシャーなどを考えると、やはり50分という時間で解き切るのは相当難しいと思っておく必要があります。試験時間50分をどう使うかは、普段の勉強の中でも意識しておくべきでしょう。
金沢市統一テストは進路決定において重要と言われているようですが、過去の塾生たちの統一テストの得点と進学先を見てみると、そこまで得点を気にする必要はありません。ただし、無謀な挑戦になっていないかどうかだけは確認しておきましょう。
また、得点以上に大事なことはできなかった問題の復習、今後の勉強の進め方の修正などです。本番まではまだ時間があるので、点数だけを見て判断することのないようにしてほしいですね。
概観
昨年までの教科書内容中心の問題に比べると、少し入試問題に寄せてあったため若干難しく感じた人がいたかもしれませんが、全体的に平易な問題が多かったように思います。ただし、大問数が8問と多いため、時間的に余裕がなかったという人もいたかもしれません。
時間的な問題で全部解けなかったという人は、まず、時間制限なしでどのくらいできるのかをきちんと把握しておきましょう。総合模試より易しいとはいっても、それなりに時間を要するものとなっています。どういう問題に時間を取られるのか、きちんと本番前に知っておくことが大切です。
一方、今回はある程度の受験テクニックを知っていれば、サクサク解けたのも事実です。そういう意味で、数学的な理解度の深さというよりは、解法という知識にかなり寄った問題でした。あまりこういうテストは好きではありませんが、一昔前には、この手の問題が公立高校入試の中心だったことも事実です。最近は変わってきているとはいえ、こうした問題に回帰する可能性も否定できません。余裕のある人は、ある程度のテクニックは知っておく必要があるでしょう。
大問2や大問6、大問7、大問8など、題材はいいのですが、表面的なテクニックで解いて終わってしまうような問題構成がもったいないですね。もう少し掘り下げた問題があると面白かったのになあと思います。この辺りは第2回でどのようになるか、注視したいと思います笑。
大問1
(2) $\displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{6}$
(3) $4$
(4) $x=24^\circ$
(5) $\displaystyle\frac{3}{8}$
大問1は計算を中心とした小問集合でした。ここはしっかりと得点しておきたいところです。
(1)の計算は定番中の定番ですが、エでは通分の際に符号のミスをしてしまう人がいるので気をつけましょう。また、オの根号計算では面倒な計算をやって計算ミスをしてしまう人がいるので要注意です。
例えば、$\displaystyle \frac{6}{\sqrt{6}}$ のような形で、
$$\frac{6\times \sqrt{6}}{\sqrt{6}\times \sqrt{6}}=\frac{6\sqrt{6}}{6}=\sqrt{6}$$
のように計算している人が多いのですが、単純に $\displaystyle\sqrt{\frac{36}{6}}=\sqrt{6}$ と考えれば暗算で計算できるでしょう。
また、$\sqrt{6}\times\sqrt{2}$ のような計算でも
$$\sqrt{6}\times\sqrt{2}=\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$$
のような回りくどい計算をしている人がいます。これも $\sqrt{6}$ を先に分割して
$$\sqrt{6}\times\sqrt{2}=(\sqrt{2}\times\sqrt{3})\times \sqrt{2}=2\sqrt{3}$$
と考えれば暗算で計算できるはずです。
計算ミスが多い人という人は、途中式をむやみに書く傾向があるので気をつけましょう。普段の計算練習ではできるだけ暗算で計算するように心がけましょう。
(2)は2次方程式の解を求める問題ですが、解の公式を利用するだけの無味乾燥な問題でした。
(3)は1次関数の知識を問われる問題でした。これができなかったという人が案外いたかもしれません。関数 $\displaystyle y=\frac{2}{3}x-1$ について、$x$ の増加量が $6$ のときの $y$ の増加量を求める問題ですが、これは傾き（変化の割合）から考えることが可能です。$\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{y}{6}$ と考えれば、すぐに $4$ と分かるでしょう。
(4)は角度の問題でした。条件から、図の $\triangle\mathrm{DOC}$ が二等辺三角形になることに気付けばOKです。$x$ は $\angle\mathrm{ODC}$ と等しくなる（錯角）ので、$\triangle\mathrm{ODC}$ を考れば良いでしょう。
ちなみに計算する際は、$180-78\times2$ としてもいいですが、$(90-78)\times 2=24$ とする方がミスが少ないように思います。
(5)は確率の問題でした。これは全部書き出して考えれば問題ないでしょう。樹形図や表などを用いて整理してみましょう。
| 500円 | 100円 | 50円 | 合計 |
| 表 | 表 | 表 | 650円 |
| 表 | 表 | 裏 | 600円 |
| 表 | 裏 | 表 | 550円 |
| 表 | 裏 | 裏 | 500円 |
| 裏 | 表 | 表 | 150円 |
| 裏 | 表 | 裏 | 100円 |
| 裏 | 裏 | 表 | 50円 |
| 裏 | 裏 | 裏 | 0円 |
全部で8通りありますが、そのうち該当するのは3通りであるため、求める確率は $\displaystyle\frac{3}{8}$ となります。
大問2・関数
大問2は2次関数のグラフと図形の融合問題でした。この手の問題では関数の知識よりも図形の知識が重要となります。
今回は $y=2x^2$ のグラフと三角形の面積および最短距離の問題でした。どれも定番の問題なので、完答しておきたい問題です。
(1)は関数の値域（$y$ の変域）についての問題でした。計算だけで乗り切ろうとして失敗する人がいるので、グラフをイメージして考える癖をつけておきましょう。
グラフを $-2\leqq x\leqq 1$ の範囲で切り取れば、上図の実線部分となります。このとき、$y$ の値がどこからどこまでを取り得るかグラフを見て考えてください。グラフを見れば明らかです。$y$ の変域は $0\leqq y\leqq 8$ となります。
(2)は放物線上の2点と原点がつくる三角形の面積の問題です。
なお、この問題については以前にいろいろと書きました。オーソドックスに考えるのであれば、図の直線ABの方程式を求めることからスタートします。
A$(-1,\ 2)$、B$(3,\ 18)$ から、傾きは $4$ となります。ここから、$y=4x+6$ を暗算で求められるくらいにはなっておきましょう。そうすると、Cの座標は $(0,\ 6)$ となります。あとは、$\triangle\mathrm{AOC}$ と $\triangle\mathrm{BOC}$ の面積を求めて加えればOKです。上図で、A、Bから $y$ 軸に下ろした垂線の長さ（三角形の高さ）は、A、Bの $x$ 座標の絶対値となるので、それぞれ1、3となります。したがって
$$\frac{1}{2}\times 6\times 1+\frac{1}{2}\times 6\times 3=12$$
となります。
なお、この問題については公式的なものが存在していて一瞬で答えを求めることが可能です。ただし、その公式的なものを覚えて使うだけでは何の意味もないので、まずは上のような地道な方法で考えるようにしましょう。
なお、その公式的なものについては、以下の長方形の面積を半分にすることで
$$\frac{1}{2}\times 6\times (1+3)$$
のように計算することができるというものです。これが理解できていれば公式を用いる意味もあると言えるでしょう。
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(3)は折り返しの直線の最短距離の問題です。2点間の最短距離は2点を結ぶ線分の長さと等しいことを理解していれば問題ないでしょう。
これも使い古された問題で、対称点をとって直線で結ぶという効率の良い確立された解法が知られている問題です。
図のように、$x$ 軸についてAと対称な点 A’をとり、BとA’を結ぶ直線を考えればOKです。A’$(-1,\ -2)$、B$(3,\ 18)$を通る直線は、傾きが5となるので、$y=5x+3$ となります。$y=0$ のときを考えて、$\displaystyle x=-\frac{3}{5}$ となります。
大問3・統計
難易度 易
問題3は統計の問題でした。これもごく基本的な問題で、ほぼ知識だけで解けるため、あまり数学の問題という感じはありません。ただし、この分野についてはあまり勉強していない人が多いため、出来なかったという人が案外多かったりします。基本的な知識だけでも押さえておきましょう。
(1)は2〜6の階級の相対度数です。これは $\displaystyle\frac{6}{40}=0.15$ とすぐに求められなければダメですね。
(2)は表について正しく述べていることがらを選ぶ問題です。
ア 最頻値は20分である
イ 階級の幅は4分である
ウ 中央値は10分以上14分未満の階級に入っている
エ 6分以上10分未満の階級の累積相対度数は0.75である
アは、度数分布表での最頻値は、最も度数の高い階級の階級値であるため、10〜14の階級の階級値12分となります。
イは正しいですね。$6-2=4$ となることからも確認できます。
ウも正しいです。データを順番に並べた時の20番目と21番目のどちらも10〜14に入ります。
エは累積相対度数は $6+7=13$ より、$\displaystyle\frac{13}{40}=0.325\fallingdotseq0.33$ です。
大問4・方程式
難易度 易
今回の方程式の問題はいちばんガッカリした問題です。問題文が無駄に長いだけで、方程式の問題としては非常に幼稚な問題でした。とくに、たとえばのところは完全に考え方を示しているようなもので、数学の問題として機能しているとは言い難いものでした。
ゴチャゴチャ書いてありますが、無駄な情報を削ぎ落として考えれば、どうということはない問題です。以下は、必要なものをだけを取り出しました。
| 入場料 | |
| 第1部だけをみる場合 | 500円 |
| 第2部だけをみる場合 | 700円 |
| 第1部と第2部を通してみる場合 | 1000円 |
というわけで、ある日の観客数は、第1部が始まったときが130人、第2部が始まったときが160人だったそうで、入場料の合計は169000円だそうです。このとき、第1部だけを見た人は何人かという問題です。
第1部だけを見た人を $x$ 人とすると、第1部と第2部を通しで見た人は $130-x$ 人となります。あとは、第2部だけを見た人が何人かを考えます。これは当然 $30+x$ となります。ちなみに、$30+x$ を $160-(130-x)$ と計算するような人は、少々計算に頼りすぎているかもしれません。
さて、あとはこれに入場料を加味して
$$500x+700(30+x)+1000(130-x)=169000$$
これを解いて、$x=90$ となります。
大問5・作図
難易度 易
今回の作図はごく基本的な問題でした。条件は以下の2つです。
- 点Pは点Cを通り辺BCに垂直な直線上にある
- AP=BP
まずは1つ目の条件を考えて、Cから垂線を作図します（赤い直線）。
AP=BPの条件は言い換えると、ABの垂直二等分線上にPが存在するということです。よって、ABの垂直二等分線を作図して、交点を求めればOKです。
大問6・規則性
難易度 標準
(2) $92$
(3) $252$
大問6の規則性は、今回の問題の中では比較的良い問題だったのではないでしょうか。総合模試などで規則性の問題に慣れている人にとっては簡単な問題だったかもしれませんが。というわけで、下図のように規則的に正方形の板を並べていく問題です。色なしの正方形（板A）は1辺1cmとなります。色のついた正方形（板B）は1辺2cmとなります。
| 1番目 | 2番目 | 3番目 |
| | |
(1)は5番目の図形における板Aの枚数を求める問題です。これは、実際に5番目まで作ってみるのが確実です。
| 4番目 | 5番目 |
| |
ということで、5番目の板Aの枚数は、24枚となります。答えはこれで求まりましたが、この結果を一般化してみることが大切です。
| 1番目 | 2番目 | 3番目 | 4番目 | 5番目 | … | $n$ 番目 |
| 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | … |
規則としては、8からスタートして4ずつ増えるというものです。したがって、最初の8に4を何回加えるかという視点で捉えてみるといいでしょう。2番目では4を1回、3番目では4を2回、4番目では4を3回、5番目では4を4回加えるといいことがわかります。ここにも規則があります。$n$ 番目では4を $(n-1)$ 回加えるという規則です。
したがって、$n$ 番目の板Aの枚数は、$8+4(n-1)=4n+4$ となります。正しいかどうか、$n=1$ から $n=5$ まで計算して、上の表と一致するか確認してみるといいでしょう。
(2)は11番目（$n=11$）の図形の全体の面積です。(1)の考察を用いれば、板A（面積 $\mathrm{1cm^2}$）は $48$ となります。板B（面積 $\mathrm{4cm^2}$）は11枚となるので、求める面積は
$$48+44=92$$
となります。
(3)は $n$ 番目の図形の面積が $500\mathrm{cm^2}$ となるときの板Aの枚数を求める問題です。(2)の計算を利用すれば
$$(4n+4)+4n=500$$
となり、これを解けば $n=62$ が得られます。あとは、$4\times 62+4=252$ と計算できます。
大問7・空間図形
難易度 易
(2) $216^\circ$
(3) $4\mathrm{cm}$
大問7は円錐をベースにした空間図形の問題でしたが、空間図形の知識はあまり必要ありませんでした。
(1)は円錐の体積を求める問題でした。
図からすぐに
$$\frac{1}{3}\times 6^2\pi\times 8=96\pi$$
と求められるでしょう。
(2)は側面のおうぎ形の面積を求める問題です。これも定番ですね。底面と円周の長さとおうぎ形の弧の長さが一致することから考えていきましょう。
底面の円周の長さは $12\pi$ です。上図のおうぎ形の弧の長さは中心角を $x$ とすると、$\displaystyle 20\pi\times \frac{x}{360}$ となります。よって
$$20\pi\times \frac{x}{360}=12\pi$$
を解いて、$x=216^\circ$ となります。
(3)は断面を考えればすぐに解ける問題です。ABCを含む平面で切断すると下図のようになります。
ここからすぐに、ADの長さは $\mathrm{4cm}$ であることがわかります。
大問8・平面図形
難易度 標準
(2) $42^\circ$
(3) $\displaystyle \frac{168}{5}\mathrm{cm^2}$
大問8は平面図形の問題でした。三角形の合同の証明、角度、面積というオーソドックスな内容でしたが、(3)はちょっと苦戦したという人も多かったかもしれません。図形の問題では条件のチェックを忘れないようにしましょう。
(1)は、$\triangle\mathrm{CEH}\equiv\triangle\mathrm{FBI}$ の証明です。直角三角形であることに気をつけておきましょう。
仮定から、$\angle\mathrm{CHE}=\angle\mathrm{FIB}=90^\circ$
四角形 $\mathrm{BFCE}$ は平行四辺形なので、$\mathrm{CE=FB}$
$\mathrm{AD}//\mathrm{BC}$ より、$\angle\mathrm{CEH}=\angle\mathrm{ECB}$
$\mathrm{BF}//\mathrm{EC}$ より、$\angle\mathrm{ECB}=\angle\mathrm{FBI}$
したがって、$\angle\mathrm{CEH}=\angle\mathrm{FBI}$
直角三角形において、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、$\triangle\mathrm{CEH}\equiv\triangle\mathrm{FBI}$
（証明終わり）
直角三角形の合同なので、最初に斜辺が等しいことが言えないかどうかを考えていくといいでしょう。そうすると、平行四辺形の性質から様々な条件が導かれてくることが分かると思います。
(2)は角度の問題です。これは比較的易しい問題だったと思います。
$\angle\mathrm{HCE}=32^\circ$、$\angle\mathrm{BEC}=80^\circ$ のときの $\angle\mathrm{FCG}$ の大きさを求める問題です。
ここでも、平行四辺形の性質を考えることで道筋が見えてきます。四角形 $\mathrm{BFCE}$ が平行四辺形であることから、$\angle\mathrm{BEC}+\angle\mathrm{FCE}=180^\circ$ となります。したがって、$\angle\mathrm{FCE}=100^\circ$ です。また、$\mathrm{AD}//\mathrm{BC}$ なので、$\angle\mathrm{CEH}=\angle\mathrm{ECB}$ です。
このとき、$\angle\mathrm{CEH}=90^\circ-32^\circ$ であることに気をつけて
$$\angle\mathrm{FCG}=100^\circ-(90^\circ-32^\circ)=42^\circ$$
と求められます。
(3)の $\triangle\mathrm{IFG}$ の面積については、ある程度勉強を進めている人の場合、どうしても面積比などから考えてしまいがちです。それでハマってしまったという人もいたのではないかと思います。今回は、面積を直接計算するという原始的な方法で考えられる問題でした。垂線が与えられているところがクサいなあと思った人は、直接面積を考えるというところに着地できたと思います。条件のチェックは大切ですよ。
$\mathrm{AE=9}$、$\mathrm{EH=3}$、$\mathrm{HD=8}$ および平行四辺形$\mathrm{ABCD}=192$ が与えられています（単位は面倒なので省略します）。
まず、(1)の結果から、$\mathrm{EH=BI=3}$ となります。
さらに、平行四辺形 $\mathrm{ABCD}=192$ であることから $\mathrm{AD\times CH=192}$、すなわち、$\displaystyle CH=\frac{48}{5}$ が得られます。当然、$\displaystyle \mathrm{CH=FI=\frac{48}{5}}$ です。
また、平行四辺形 $\mathrm{BFCE}$ の対角線の交点が $\mathrm{G}$ となるため、$\mathrm{BG=GC=10}$ となります。先の $\mathrm{BI=3}$ と合わせると、$\mathrm{IG=7}$ となります。したがって
$$\triangle\mathrm{IFG}=\frac{1}{2}\times 7\times \frac{48}{5}=\frac{168}{5}$$
となります。
解いてみての感想
全体的に平易な問題が多く、私は20分以内に解くことができました。石川県総合模試などで難易度の高い問題をやっている人は、簡単すぎてびっくりしたかもしれません。ただし、近年の数学力の低下をみると、このレベルでも平均点はそこまで高くならないと思います。ま、点数的なものはそのうち公開されると思うので、それを待つことにしましょう。なお、ボーダーラインがどうこうという話なども出てくる時期ですが、最初にも書いたように、第1回の統一テストの成績はそこまで重要ではありません。どちらかというと「現状把握」的な意味が強いです。
そのため、今回の問題でできなかった問題については、早めに復習をやって潰しておくことが大切です。それも、ただ解き直しをするというだけでは意味がありません。本番を見据えて、自分に欠けているものがどんなものか、それをどのようにカバーするか、どういうことに普段から気をつけるべきか、といったことを考えてみてほしいなと思います。