総合模試を受験したみなさん、お疲れ様でした。今回は解いてみたは見送ろうかと思いましたが、少しでも解説を残しておこうということで、いつもより軽めですが、記事にしておきます！（ちょっと体調を崩していたので、記事の更新が遅くなりました。）
概観
今回もとくに変わりなく大問数7（小問数22）で石川県総合模試の標準的なセットでした。
内容的には、前半に軽めの問題が多く、後半の図形は時間がかかる問題が中心でした。時間内に解けるところをしっかりと解くというのが大原則となります。時間がかかりそうだと判断したら、さっさと見切りをつけてしまうことも必要でしょう。
後半の図形の問題は「総合模試も本気を出してきたな」という感じで大きく差がつきそうな問題が連続していました。今年度は比較的易しい問題が続いていたので、今回は図形がほとんど出来なかったという人も多かったのではないかと想像します。時間的にゆっくり考えている余裕はないので、結局は前半でどのくらい得点できたかがポイントになりそうです。
出題分野は前半が関数・方程式を中心とした代数、後半が作図・平面図形・空間図形という幾何の出題です。今回は大問2が規則性の問題でしたが、比較的易しい問題だったので、苦労せずに解けた人も多かったように思います。
今回は今年度の問題の中では最も難度の高い問題構成でした。ただし、受験生のみなさんも学力が伸びてきているはずなので、高得点者もそれなりに増えるのではないかと期待しています。
全体的な難易度 やや難
ここからは問題の具体的な解説となります。
大問1
内容 小問集合
難易度 易
大問1は満点を目指していきましょう。ミスがあった人は、きちんと対策をしておくことが大切です。計算ミスがあった人は、その原因をよく探ってみることが大切です。「計算ミスした！」で終わらせないようにしてください。とくに、暗算力の低い人ほど計算ミスをする傾向があるので、冬休みの間に暗算力を高める練習をしてもいいでしょう。知識項目の抜けがあった人は、早急に教科書を見直しておきましょう。
(1)はオの計算を取り上げておきましょう。$\sqrt{75}+9\div\sqrt{3}$ という計算でしたが・・・
\begin{align*}
\sqrt{25\times 3}+\sqrt{9}\times\sqrt{9}\div\sqrt{3}&=5\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\
&=8\sqrt{3}
\end{align*}
くらいには計算したいところです。
(2)は2次方程式 $x^2+5x+2=0$ を解けという問題ですが、センスのない出題で残念です。
(3)は少し変化をつけた問題でした。が、具体例を1つ考えれば答えが選べてしまいます。2つの整数 $a$、$b$ があり、$a<b<0$ であるとき、$a^2$、$b^2$、$a^3$、$b^3$ のつい最も小さい数を選べという問題です。$a=-2$、$b=-1$ とでもしてみると、$a^2=4$、$b^2=1$、$a^3=-8$、$b^2=-1$ となり、$a^3$ が最小になることが一応わかります。
(4)は確率と根号計算の融合問題でした。大問2でもこうした問題がよく出題されます。大小2つのさいころを投げて、大きいサイコロの目の数を $a$、小さいサイコロの目を $b$ としたとき、$\sqrt{a+b+1}$ が整数となる確率を求める問題です。全部で36通りの目の出方があることは、もう理解できるでしょう。
ここではまず、$a+b$ の最大が $6+6=12$ になることに注意しましょう。根号が外れて整数となるには、根号内が平方数となればOKです。根号内の数の最大13までに現れる平方数は、1、4、9の3つです。1となることはあり得ないので、4と9の場合があります。4のとき、$a+b=3$であり、これは$(1,\ 2)$、$(2,\ 1)$ の2通り、9のとき、$a+b=8$ であり、これは $(2,\ 6)$、$(3,\ 5)$、$(4,\ 4)$、$(5,\ 3)$、$(6,\ 2)$ の5通りとなります。したがって、求める確率は
$$\frac{7}{36}$$
となります。
(5)はデータの分析の問題でした。この問題は特に解説するようなこともないでしょう
大問2
内容 規則性
難易度 易
今回の大問2は規則性の問題でした。
1番目
2番目
3番目
このように白と黒の正方形のタイルを規則正しく並べていく問題です。
(1)は5番目のタイルの枚数を求める問題でした。これは、実際にかいてみるのがいちばんでしょう。
4番目5番目
5番目のタイルの枚数は全部で42枚となります。
ちなみに計算で求めると、以下のようになります。$n$ 番目の枚数がどうなるか、タイルの枚数を縦と横の枚数で計算します。
| 1番目 | 2番目 | 3番目 | $n$ 番目 |
| $2\times 3$ | $3\times 4$ | $4\times 5$ | $(n+1)(n+2)$ |
この規則がわかれば、$n=5$ のときの枚数は $6\times 7=42$ と計算で求められます。
具体例を確認しながら上のような規則が成り立つことを確認できればOKでしょう。
(2)は白いタイルの枚数が132枚となるときを考えます。基本的な考え方は(1)と同じです。黒いタイルが邪魔なので、白いタイルをくっつけてしまうと考えやすくなります。
1番目2番目3番目
これも同じように縦と横の枚数で計算しましょう。そうすると規則が簡単に見えてきます。
| 1番目 | 2番目 | 3番目 | $n$ 番目 |
| $1\times 2$ | $2\times 3$ | $3\times 4$ | $n(n+1)$ |
したがって
$$n(n+1)=132$$
真面目に計算してもいいですが、$11\times 11=121$、$12\times 12=144$ あたりから、$11\times 12$ が当てはまりそうなので、これを計算してみると、実際に $132$ となります。したがって、$n=11$ となります。
大問3（復習おすすめNo.2）
内容 関数
難易度 標準
大問3は頻出タイプの2次関数と図形の融合問題でした。今回はオーソドックスな解法だと計算が面倒になります。図形的な考察をしてから計算に取り掛かると面倒な計算を回避できるので、解答にはそちらを採用しておきます。
①は $y=x^2$、②は $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$ のグラフです。ADとBCは $y$ 軸に平行、ABとCDは $x$ 軸と平行です。また、Aの $x$ 座標を $t$ とします。さらに、ACと $y$ 軸との交点をEとします。
(1)は $t=2$ のときの点Cの座標を求める問題です。放物線の対称性から、Cの $x$ 座標はすぐに $-2$ となることが分かります。$y$ 座標は
$$y=-\frac{1}{2}\times (-2)^2=-2$$
より、C$(-2,\ -2)$ となります。
(2)は $t=3$ のときの $\triangle\mathrm{ECD}$ の面積を求める問題です。直線ACの方程式を求めて、Eの座標を考えたという人もいるかもしれません。もちろん、その方法でも間違いではありませんが、少し計算が面倒になります。ここでは、図形的な特徴を考えることでなるべく計算をしないで済むように考えてみましょう。
ポイントは四角形ABCDが長方形になっているということです。このとき、Eは対角線ACの中点になっていることに気づければ、計算がとても楽になります。
図のように、色付き部分の $\triangle\mathrm{ACD}$ の面積を半分にしたものが求める $\triangle\mathrm{ECD}$ の面積（斜線部）となります。
A、C、Dの座標はすぐに求まります。そして、$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{27}{2}$、$\mathrm{CD}=6$ であることから
$$\triangle\mathrm{ECD}=\left(\frac{1}{2}\times \frac{27}{2}\times 6\right)\times \frac{1}{2}=\frac{81}{4}$$
となります。
(3)は四角形ABCDが正方形となるときの $t$ の値を求める問題です。これも、図形的な考察をすると計算が簡単になります。
まず、与えられているグラフは $y=x^2$ と $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2$ のグラフであることから、下図において、$\mathrm{AF:FD=2:1}$ が分かります。さらに正方形になることから、$\mathrm{AD=AB}$ なので、
$$\mathrm{AB:AF:FD=3:2:1}$$
さらに、$\mathrm{AG:AF=1.5:2=3:4}$ が分かります。したがって、Aの座標について
$$t:t^2=3:4$$
が成り立ちます。よって、$3t=4$ から $\displaystyle t=\frac{4}{3}t$ となります。
大問4
内容 方程式
難易度 易
今回の方程式は珍しく2次方程式の問題が出題されました。方程式の問題は1次方程式の問題ばかりだったので、少し面食らった人もいたかもしれません。しかし、問題そのものはちゃんと読めばものすごく簡単な問題でした。
地上35mのビルの屋上にいるAさんが、立っている位置から秒速30mでボールを投げ上げる問題です。Aさんがボールを投げ上げてから $t$ 秒後に、ボールがAさんが立っている位置から $h$ mの高さにあるとすると、$h=30t-5t^2$ が成り立つということです。このとき、ボールが地面に着くのは何秒後かという問題です。
正直、ほぼ答えが書いてあります。求めるのは $h=-35$ となる場合なので（図を参照してください）
$$30t-5t^2=-35\Longleftrightarrow t^2-6t-7=0$$
したがって、$(t-7)(t+1)=0$ で、$t>0$ から $t=7$ がすぐに求められます。
大問5
内容 作図
難易度 標準
今回の作図は、以下のような問題でした。
- 点Pは線分CD上にある
- $\angle\mathrm{APC}=\angle\mathrm{BPD}$
この2つの条件を満たすPを考えますが、大事なのは②の条件です。まずは、どんな感じになるかイメージしてみましょう。
このような感じになりそうだなと予想できるので、これを作図するためにどうするかということを考えます。ある程度、図形問題をやっている人であれば折り返しの図形にピンと来るのではないでしょうか。対称点をとって直線で結ぶという発想がポイントになります。
実際の作図では、Bの代わりに上図のようにEをとります。この点Eは、中心がCD上にあってBを通る異なる2円を描き、それらの交点から求められます。あとは、AとEを直線で結び、CDの交点をPとすればOKです。
大問6（復習おすすめNo.3）
内容 平面図形
難易度 難
今回の平面図形は相似を中心とした問題でしたが、(3)はかなり正答率が低そうな問題でした。ここは私も結構苦戦しました！
最初に与えられる図はシンプルです。
$\angle\mathrm{ABC}=90^\circ$ であり、$\mathrm{DA=DE}$ となるように、図のように $\mathrm{D}$、$\mathrm{E}$ をとります。
(1)は、$\angle\mathrm{CDE}=98^\circ$ のときの $\angle\mathrm{ACB}$ の大きさを求める問題です。
上の図から、外角を考えると $\angle\mathrm{DAE}=98^\circ\div 2=49^\circ$ となるので、$\angle\mathrm{ACB}=41^\circ$ となることが分かります。
(2)は $\mathrm{DE}$ の延長と $\mathrm{CB}$ の延長の交点を $\mathrm{F}$ とした（下図）とき、$\triangle\mathrm{ABC}\sim \triangle\mathrm{EBF}$ であることを示す問題です。
(1)の設定を引き継いでいるので、ここは一瞬で証明の手順が見えるのではないでしょうか。
図の $\bullet$ と直角に着目すれば、$\angle\mathrm{BAC}=\angle\mathrm{BEF}$、$\angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{EBF}$ から $\triangle\mathrm{ABC}\sim \triangle\mathrm{EBF}$ であることを示せます。
(3)はかなり難しい問題だったので、数学がかなり得意な人でないと厳しかったかもしれません。
図はこのような感じになります。追加の設定として、$\angle\mathrm{ACB}=\angle\mathrm{GHE}$、$\mathrm{GE=GH}$、$\mathrm{AD}=2$、$\mathrm{DC}=10$、$\mathrm{BC}=9$ となります。なお、単位は面倒なので省略します。このとき、線分 $\mathrm{CH}$ の長さを求める問題です。
最初に、$\mathrm{CH}$ を求めるためにどこに着目するかというのが非常に大切になります。図形の問題に慣れている人は、$\triangle\mathrm{HCD}$ を狙うか、もしくは $\mathrm{BH}$ を求めるために $\triangle\mathrm{EBH}$ あたりを狙うかするのではないかと思います。
(1)、(2)の設定も引き継いでいるので、いろいろと分かるものを書き出してみると
こんな感じになります。とくに重要となるものの1つが、$\triangle\mathrm{DEF}\sim\triangle\mathrm{GEH}$ という2つの相似な二等辺三角形です。これに、(2)の相似から $\displaystyle \mathrm{FB}=9\times \frac{2}{3}=6$ を組み合わせることで
$$\mathrm{HG:EH=DC:FC=10:15=2:3}$$
が得られます。しかし、不明なものが残っているため、これ以上は進めません。
そこで、外角に注意して $\angle\mathrm{GCH(ACB)}+\angle\mathrm{CGH}=\angle\mathrm{GHB}$ を考えます。このとき、$\angle\mathrm{ACB}+\angle\mathrm{GHE}$ であることから、$\angle\mathrm{CGH}=\angle\mathrm{EHF}$ が分かります。そして、このことから $\triangle\mathrm{EHF}\sim\triangle\mathrm{HCG}$ も分かります。
そこで、$\mathrm{FE:CH=EH:HG}$ から $\mathrm{8:CH=EH:HG}$ となります。
ポイントは、この $\mathrm{EH:HG}$ は直接線分の長さを求められないものの、先の $\triangle\mathrm{DEF}\sim\triangle\mathrm{GEH}$ から、$\mathrm{EH:HG}=3:2$ という線分比だけは得られるというところです。
したがって、$\mathrm{8:CH=3:2}$ となり、$\displaystyle \mathrm{CH}=\frac{16}{3}$ が得られます。
2つの相似比を跨ぐことで間接的に線分比を得るというなかなか高度な思考力を要する問題でした。個人的には好きな問題ですね笑
大問7（復習おすすめNo.1）
内容 空間図形
難易度 標準
大問7は空間図形の問題でした。これも相似をベースとした問題でしたが、見かけほどの難しさはありませんでした。上位校狙いの人は完答しておきたいレベルの問題です。
問題は、1辺12（単位省略）の立方体を題材とする頻出の問題です。
(1)は辺ABとねじれの位置にある辺を答える問題です。これは解説不要でしょう。辺DH、CG、FG、EFの4つです。
(2)は下図のように条件が追加されます。
$\mathrm{CI}=9$ となるように $\mathrm{I}$ をとります。当然、$\mathrm{ID}=3$ となるので、結局 $\mathrm{CI:ID=3:1}$ となります。さらに、図のように $\mathrm{GI}$ と $\mathrm{HD}$ の延長の交点を $\mathrm{J}$ とします。このとき、$\triangle\mathrm{JGH}$ の面積を求める問題です。
これは、平面の問題なので、平面図を描き出しておくといいでしょう。
$\mathrm{CI:ID=3:1}$ であることから、$\mathrm{GH:ID}=4:1$ もすぐに分かるでしょう。これによって、2つの相似が見えてきます。
$\triangle\mathrm{CGI}\sim\triangle\mathrm{DJI}$（相似比は $3:1$）、$\triangle\mathrm{DJI}\sim\triangle\mathrm{HJG}$（相似比は $1:4$）が見えれば問題ありません。
このとき、それぞれの面積比は $\triangle\mathrm{CGI}:\triangle\mathrm{DJI}=9:1$、$\triangle\mathrm{DJI}:\triangle\mathrm{HJG}=1:16$ となります。したがって、$\triangle\mathrm{CGI}:\triangle\mathrm{HJG}=9:16$ となります。
また、$\displaystyle \triangle\mathrm{CGI}=\frac{1}{2}\times 9\times 12=54$ となるので
$$\triangle\mathrm{HJG}=54\times \frac{16}{9}=96$$
となります。
(3)はさらに、下図のように点が追加されます。
このとき、5つの面AEGC、ACIK、AEK、CGI、KEGIで囲まれた立体の体積を求める問題です。こんなヘンテコな図形の体積を直接求めるのは難しいので、大きなものから引くという考え方で見ていきましょう。
余分なものを削ぎ落として上図のような状態で考えます。求める図形は、三角柱ACD-EGHから、三角錐J-EGHを途中で切ったKID-EGHを引けば求められます。このKID-EGHは(2)で考えた相似を利用すると簡単に求められます。
$\triangle\mathrm{DJI}\sim\triangle\mathrm{HJG}$（相似比は $1:4$）であることから、J-KIDとJ-EGHの体積比は $1:64$ となります。すなわち、J-KIDとKID-EGHの体積比は $1:63$ ということです。
そして、(2)の設定から、$\mathrm{ID=3}$、$\mathrm{JD}=4$ が分かるので
$$\mathrm{J-KID}=\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{2}\times 3\times 3\right)\times 4=6$$
となります。したがって、KID-EGHの体積は $6\times 63=378$ です。さらに
$$\mathrm{KID-EGH}=\frac{1}{2}\times 12\times 12\times 12=864$$
より、求める立体の体積は $864-378=486$ となります。
まとめ
今年度は比較的易しい問題が続いていましたが、今回は目先を変えるような問題が目立ちました。大問3や大問4で思わぬミスをしてしまったという人も多かったかもしれません。また、後半の図形などで少し手こずったという人もいたかもしれません。ただし、全体で見るとやはりそこまで難易度は高くないため、上位校を目指している人はある程度得点を稼いでおきたい内容でした。数学が本当に得意な人は満点が取れたと思いますが、この内容ではかなり少ないのではないかと思います。
ただし、時間をかけて復習する価値のある問題が多かったので、じっくりと復習をやって実力アップに繋げていきましょう。
また、苦手な部分が残っている人は、冬休みの間にある程度は潰しておくようにしましょう。次回は年明けすぐに実施されます。私立入試も近づいてきているので、気を引き締めて頑張っていきましょう！