本日の高校2年生は図形と方程式の点と直線の距離からいくつか応用をやった。
点P \((x_1,\ y_1)\) から直線 \(l:ax+by+c=0\) に下ろした垂線の足をHとすると
$$\mathrm{HP}=\frac{\mid ax_1+by_1+c\mid}{\sqrt{a^2+b^2}}$$というもの。証明は一回はやってみるべき。
公式として覚えておくと計算が早くなるので、できれば記憶しておきたいもの。
ま、忘れても導ければ問題ないのだけど、導くのが結構面倒だったりする。
今日は、この応用の1つとして三角形の面積の問題をやってみた。
O \((0,\ 0)\)，A \((x_1,\ y_1)\)，B \((x_2,\ y_2)\) のとき，\(\triangle\mathrm{OAB}\) の面積はどうなるか。
結果から言ってしまえば$$\triangle\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\mid x_1y_2-x_2y_1\mid$$で求められる。
ちゃんと俺の話を聞いてくれていたようで、できている人が多かった。よしよし。
これは直線 \(\mathrm{OB}:y_2x-x_2y=0\) と点A \((x_1,\ y_1)\) との距離が$$\frac{\mid y_2x_1-x_2y_1\mid}{\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}}=\frac{\mid x_1y_2-x_2y_1\mid}{\mathrm{OB}}$$であることから
\begin{align*}\triangle\mathrm{OAB}&=\frac{1}{2}\mathrm{OB}\cdot \frac{\mid x_1y_2-x_2y_1\mid}{\mathrm{OB}}\\&=\frac{1}{2}\mid x_1y_2-x_2y_1\mid\end{align*}
として得られる。
問題集などには、唐突にこの式だけ書いてあったりするから、暗記しようとする生徒がいるけど、上のように考えれば、単に底辺×高さ×1/2の計算をしているだけ。
というか、高校数学では三角形の面積公式がいくつか出てくるけど、基本的にやってることは底辺×高さ×1/2の計算なのである。それぞれがバラバラに見える人もいるかもしれないけど同じものだ。
そういえば、Twitterのフォロワーの方が昔の課程の問題集をアップしていらしたが、俺の時代はこの内容は数学Iに入っていた。どうも、今の教科書書だと数学IIの最初のあたりが間延びしてしまう。数学Iでやってしまえばいいのになあと思うことも多い。単なる思い出補正かもしれないけど、数学I、基礎解析、代数幾何、微分積分、確率統計というあのカリキュラムはなかなか練られていたなあと思った。