現在ホームページを改装中のため、いろいろと読みにくい部分が発生しております。申し訳ありません。
前回、数列の記事を書きました。
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塾長数列が苦手っていう人は多いけど、考えてみると単純な話が多かったりします。パズルっぽい感じのものもあったりして、個人的には好きなんですけどね・・・数列の $\Sigma$ 記号のところで次のような公式が登場します。[…]
今回も数列の話です。
シグマ記号が現れるとすぐに公式のことを考える人がいますが、その前にいろいろ考えてみようという話です。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(n-k+1)^2$ の和を求めよ。
この問題をやってもらうと、大抵の生徒が $(n-k+1)^2$を展開しようとします。
もちろんその方法が間違っているわけではありません。出てくるのは $k^2$ が最高次となるので、シグマ計算の公式を利用して解くことができます。
が、私はその前に、$k=1$ から $n$ まで放りこんだらどうなるかなあとまずは考えてみます。
だって、展開するのとか面倒なんだもん・・・
実際に、$k=1$ から放りこんで $\Sigma$ を外してみると
\begin{align*}
n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+\cdots+1
\end{align*}
となります。つまり、この数列の一般項は $n^2$ となるわけです。
ということは、結局 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2$ を計算すればいいだけで、わざわざ展開して公式を適用するよりもずっと少ない労力で計算できます。
$\Sigma$ を特別な記号のように考えている高校生も多いのですが、結局は数列の和を表しているだけです。
「よく分からないぞ」と思ったら、和の形に直してみるのも1つの方法ですよ。
ということで、まだまだHPの改装作業があるので今日はこのくらいで！