階乗の計算

今日から二次試験対策の特訓を始めた。

数学IIIの問題でベータ関数にまつわる問題を扱ったのだけど、階乗の計算で手こずる生徒が案外多かった。

nの階乗
\(n\,!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\)

\(n\) の階乗は、\(n\) から1までのすべての整数の積である。これは当たり前のこととして頭に入っていてほしい。

扱ったベータ関数の問題の途中で、次のような式が現れる。

\begin{align*}\displaystyle \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdot\,\cdots\,\cdot \frac{2}{m+n-1}\end{align*}

この分子については、生徒のほとんどが \(n\,!\) とまとめることができていた。\(n\) から2までの整数の積だが、1はあってもなくても同じだ。

問題は分母の方である。これを階乗で表すことが目標になるのだが、案外できない人が多い。

\begin{align*}(m+1)(m+2)\cdots(m+n-1)\end{align*}

なので、\(m+1\) から \(m+n-1\) までの整数の積になっている。このままでは、階乗で表すことができない。

そこで、1から \(m+n-1\) までの整数の積とするために、次のように\(1\cdot 2\cdots(m-1)m=m\, !\) を付け加える。

\begin{align*}1\cdot 2\cdots(m-1)m(m+1)(m+2)\cdots(m+n-1)\end{align*}

これで、1から \(m+n-1\) までの整数の積となり、\((m+n-1)\,!\) と表すことができる。

ただし、勝手に付け加えた分の帳尻を合わせなくてはいけないので、分子に \(m\,!\) をかけておく。つまり

\begin{align*}\displaystyle \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdot\,\cdots\,\cdot \frac{2}{m+n-1}=\frac{m\,!\, n\,!}{(m+n-1)\,!}\end{align*}

ときれいな形にまとめることができる。

まあ、一度経験しておかないと難しいかもしれないが、こうした計算を苦手とする人は多いようだ。

「ちょっと汚いから都合よくキレイにして、あとで調節するか」という変形は、数学では結構よくやるものなので、こうした式の観察力はしっかりと養っておこう。

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