第4回石川県総合模試（数学）
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大問5
内容 作図
難易度 標準
作図の問題はあまり難しい問題は出題されないので、きちんと練習を積んでおきたいところです。
今回も $\triangle \mathrm{ABC}$ に対して線分 $\mathrm{AP}$ を作図する問題でした。
点Pの満たす条件は以下です。
- 点 $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上にある
- $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積は $\triangle \mathrm{APC}$ の面積の3倍になる
定規とコンパスを手にする前に、まずは幾何的に状況を把握することから考えましょう。
$\triangle \mathrm{ABC}$ があり、その辺 $\mathrm{BC}$ 上に点 $\mathrm{P}$ があり、さらに $\triangle \mathrm{ABP}$ の面積が $\triangle \mathrm{APC}$ の3倍となります。
このときに、大まかで良いので「こんな感じになるだろうなあ」という予測を立てられるようにしておきましょう。
とくに図形の問題では、「形の予測」ができるかどうかで取り組みやすさが大きく変わってきます。
ただ何となく適当にやってみることも悪くはないですが、「多分こうなるだろう」という予測は数学でも大切なのです。
というわけで、「だいたい $\mathrm{P}$ はこんへんじゃないか？」という予測を立ててみてください。
$\triangle \mathrm{ABP}$ の面積が $\triangle \mathrm{APC}$ の面積の3倍というのがポイントで、$\triangle \mathrm{ABP}$ と $\triangle \mathrm{APC}$ は高さが等しい三角形となるため面積の比は底辺の比で決まります。
つまり、$\mathrm{BP:PC=3:1}$ であることが理解できればOKです。
あとは、この比を満たす $\mathrm{P}$ を作図していきましょう。
$\mathrm{P}$ が辺 $\mathrm{BC}$ を4等分した点の1つであることがすぐに把握できないとダメですよ！
まず $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線を作図し、$\mathrm{BC}$ の中点を求めます（$\mathrm{Q}$ とでもしましょう）。
この操作を繰り返して、$\mathrm{QC}$ の中点を求めればその点が $\mathrm{P}$ となります。簡単！！
大切なことは、どう作図するかももちろんですが、幾何的な特徴をきちんと把握するということです。
図形の知識をフル活用して考えるようにしましょう！