2次方程式といえばアレ
6月になりました。湿度も気温も上がってきて、もうすぐ梅雨か〜と少し憂鬱になっています。6月に祝日が1つもないということも、何となく気持ちが盛り上がらない原因の1つかもしれないですね〜。
現在、中学校3年生の数学では、2次方程式あたりをやっています。
2次方程式といえば、解の公式というものが登場します。
解の公式については、昨年、一昨年と暑苦しいくらいに語っています。
この解の公式については、最終的に覚えてしまうことになると思いますが、最初から呪文のように覚えさせることには断固反対しています。
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
これを「にえーぶんのまいなすびーぷらすまいなするーとびーにじょうまいなすよんえーびー」などと何度も唱えて覚え、そしてそこに当てはめるということが繰り返されています。
例えば、$2x^2-3x-1=0$ のような問題に対して、$a$ が $2$ で、$b$ が $-3$ で、$c$ が $-1$ だから
$$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\times 2\times (-1)}}{2\times 2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$$
のように考えている人が相当数います。
ただし、最近は少しずつ変わってきており、きちんと公式の証明をやる学校も増えています。いい流れですね！
もちろん、答えは間違っていないのでこれでも問題はないように見えます。
試験のことだけを考えれば「覚えて当てはめる」だけでも点数はもらえます。
実際に、石川県公立高校入試や石川県総合模試などでも、単に公式を用いて解くだけのような問題が出題されていますし。
しかし、大事なことは他にもあるんです。それは、
- この公式はどのように作られるのか
- 公式によってすべての解が求まるのか
- 公式はいつでも使えるのか
こうした検証をして、「正しいものである」ということを確認することです。
この部分をすっ飛ばして、ただ公式を覚えて当てはめるなんてことをやっていたら、それは数学の勉強ではなくなってしまいます。
なお、解の公式は以下のように導くことができます。
\begin{align*}
&ax^2+bx+c=0\\
&x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\
&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0\\
&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\
&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
&x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
&x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}
これらはすべて、同値変形となっているので、最初の $ax^2+bx+c=0$ が成り立っていれば、$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ もなりたつわけです。
すなわち、$ax^2+bx+c=0$ を成り立たせている $x$ は $\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ であることが分かります。
数学の勉強をするというのであれば、最低でもこのくらいのことには触れておきたいところです。
解の公式は自分できちんと導けるように練習をしておくと、計算の練習にもなって良いですよ！
試験のための間に合わせの勉強ではなく、きちんと基礎から理解を積み上げていく、そんな勉強をやってもらいたいなあと思っています。
